介绍 "| | 问题 18"

"| | 问题 18"是一个计算机领域的经典问题，也被称为"小球下落问题"。这个问题涉及到离散数学中递推算法和概率论中期望的计算。

问题描述

现有一系列的空竹桶，桶内从上至下编号为1, 2, 3, ……。在第n个桶的底部放置一个小球，任意时间小球有等概率向左或向右滚动一格，当小球滚到1号桶的底部时只能向右滚动，当小球滚到最后一个桶底端时只能向左滚。若小球在第1个桶底端向右滚动，则小球离开空竹桶。求小球离开空竹桶的期望次数。

解法

这个问题可以使用递推算法来解决。首先，将第1个桶归为两个不同的情况：首先，小球可以在第1个桶向右滚动离开空竹桶；其次，小球可以在第1个桶向左滚动掉头进入第2个桶。因此，问题可以分解为两个子问题：1）小球在第1个桶向右滚动的情况下，离开空竹桶的期望次数；2）小球在第1个桶向左滚动掉头进入第2个桶的情况下，离开空竹桶的期望次数。

设 F(n) 为小球从第n个桶开始滚动，离开空竹桶的期望次数，则上述两个子问题的解可以表示为：

F(1) = 1 + 1/2 * F(2) + 1/2 * F(1) F(n) = 1 + 1/2 * F(n-1) + 1/2 * F(n+1)

其中，第一个式子表示小球在第1个桶向右滚动的情况。因为小球在第1个桶向右滚动只有一次机会，所以需要额外加上一次滚动的期望1。同时，小球在第1个桶向左滚动时，会进入第2个桶，所以需要计算小球从第2个桶开始向下滚动的期望次数F(2)。

第二个式子表示小球在其余桶内滚动的情况。小球有一半的概率向左滚动进入下一个桶，另外一半的概率向右滚动进入上一个桶。因此，小球从第n个桶开始向下滚动的期望次数就等于1加上其向左滚动的期望次数F(n-1)和向右滚动的期望次数F(n+1)的一半之和。

最终，需要解决这个递推式，得到离开空竹桶的期望次数。具体解法和细节可以查看代码实现。

代码实现

def expected_num_of_times(n: int) -> float:
    F = [0] * (n + 2)  # 多加两个哨兵，方便计算
    F[1] = 2.0  # 第一个桶向右滚动
    for i in range(2, n+2):
        F[i] = 1 + 0.5 * F[i-1] + 0.5 * F[i+1]
    return F[1]

print(expected_num_of_times(18))  # 输出离开空竹桶的期望次数

以上是本问题的解决方案，可以更好地理解递推算法和期望的计算。