门 | GATE CS 2020 | 问题 18

该题为GATE计算机科学2020年考试中的问题18。这是一道与图论有关的问题，需要掌握基本的图论知识，例如图的表示方式，图的遍历算法等。

题目描述

给定一个正整数$n$，以及一个邻接矩阵$M$，表示一个由$n$个节点组成的无向图。考虑一个新的图，其中有$n$个节点，标记为$1$，$2$，$...$，$n$。对于每一组$i$和$j$，连通新图中的$ith$节点和$jth$节点需要满足以下条件之一:

1. 原图中，节点$i$和节点$j$之间有一条边。
2. 在新图中，存在一个节点$k$（$k≠i,j$），其中新图中的$i$和$j$都连通到$M[i,k]$和$M[j,k]$连接到的两个节点中的至少一个节点。

因此，我们可以从邻接矩阵$M$构造一个新的无向图。现在需要计算该新图中的连通组件数量。

例如，对于邻接矩阵$M = [[0,1,0,1], [1,0,1,0], [0,1,0,1], [1,0,1,0]]$，它表示的无向图如下图所示：

  --1--
 /     \
0       3
 \     /
  --2--

我们需要构造新图。 对于节点$1$和$4$，它们可以直接相连。 对于节点$2$和$4$，它们都可以通过节点$3$进行连通。 因此，我们将构造出一个新图，其中包含两个连通组件。 如下图所示：

1 - 4
    |
2 - 3

因此，该问题的答案为2。

解决方案

要解决此问题，我们可以使用图的遍历算法来求解。具体地，我们从节点$1$开始进行深度优先遍历，并使用一个$visited$数组来记录已经访问的节点。对于节点$i$，如果我们已经访问，则直接跳过。否则，我们将节点$i$标记为已访问，并递归地访问与节点$i$相邻的所有节点。通过这种方式，我们可以遍历整个连通组件。

我们可以通过反复调用深度优先遍历来遍历所有未访问的节点，并计算新图中的连通组件数量。最后，我们返回连通组件数量。

下面是Python代码的伪代码实现：

def dfs(node, visited, M):
    for i in range(1, n+1):
        if i != node and not visited[i] and (M[node][i] or any(M[k][i] and M[j][k] for j in range(1, n+1) for k in range(1, n+1) if j != i and k != i and k != node)):
            visited[i] = True
            dfs(i, visited, M)

def count_components(n, M):
    visited = [False] * (n+1)
    components = 0
    for i in range(1, n+1):
        if not visited[i]:
            visited[i] = True
            components += 1
            dfs(i, visited, M)
    return components

总结

这道题提供了一个有趣的图论问题，涉及到图的遍历算法以及邻接矩阵的使用。我们使用深度优先遍历算法，并根据给定的条件检查节点之间的连通性。我们通过调用遍历算法来遍历所有未访问的节点，并计算新图中的连通组件数量。

这个问题可以帮助我们更深入地理解图的概念，并提高对深度优先遍历的理解和应用。