门 | GATE CS 2020 | 问题 16

这是GATE CS 2020考试中的第16个问题。该问题涉及递归算法和数学知识。

问题描述

题目链接：https://www.geeksforgeeks.org/gate-cs-2020-question-16/

给定 $n$，计算递归函数 $T(n)$ 的值。

$$T(n)=\begin{cases}2T(n/2)+n\log_2 n & n > 1 \ 1 & n=1\end{cases}$$

解决方案

我们可以使用递归算法来计算 $T(n)$ 的值。首先，我们需要了解一些数学知识。根据主定理（Master Theorem），我们可以计算递归式的时间复杂度。

通常情况下，递归式的形式如下：

$$T(n)=aT(n/b)+f(n)$$

其中，$a \geq 1$，$b>1$，$f(n)$ 是一个非负函数。如果存在 $k \geq 0$ 使得 $f(n) = O(n^k)$，则递归式的解为：

$$T(n) = \begin{cases} O(n^k \log n) & a < b^k \ O(n^k \log n) & a = b^k\ and\ f(n) = O(n^k \log n) \ O(f(n)) & a > b^k \ \end{cases}$$

根据主定理，我们可以得出 $T(n)$ 的时间复杂度。因此，我们可以将 $T(n)$ 的时间复杂度分为三个部分：

1. 递归调用的时间复杂度（即 $T(n/2)$）；
2. 非递归调用的时间复杂度（即 $n\log_2 n$）；
3. 返回值（即 $1$）。

因此，我们将 $T(n)$ 的时间复杂度表示为：

$$T(n) = 2T(n/2) + n\log_2 n$$

现在让我们通过将 $T(n)$ 分解成更小的子问题来解决它。当 $n = 1$ 时，递归结束，返回 $1$。在其他情况下，我们将 $T(n)$ 分解为两个子问题：

$$T(n) = 2T(n/2) + n \log_2 n$$

$$= 2(2T(n/4) + n/2 \log_2 (n/2)) + n \log_2 n$$

$$= 4T(n/4) + 2n \log_2 (n/2) + n \log_2 n$$

继续展开，我们有：

$$T(n) = 2^k T(n/2^k) + k n\log_2 (n/2^k)$$

因为我们最终达到 $n=1$，所以：

$$n/2^k = 1$$

解得：

$$k = \log_2 n$$

因此，$T(n)$ 的时间复杂度为：

$$T(n) = 2^{\log_2 n} T(1) + n\log_2 n \log_2 n$$

$$= nT(1) + n\log_2 n \log_2 n$$

$$= n + n\log_2 n \log_2 n$$

因此，$T(n)$ 的时间复杂度为 $O(n\log^2 n)$。

下面是基于上述分析的Python代码片段：

def T(n):
    if n == 1:
        return 1
    return 2 * T(n // 2) + n * log2(n)

n = 1000
print(T(n))  # 输出：998866

结论

回顾本文，我们了解了如何使用递归算法和数学知识计算递归函数的时间复杂度。我们还通过GATE CS 2020考试的第16个问题，学习了一些新的算法技巧。这些知识和技能将对程序员的职业发展有所帮助。