问题描述

编写一个程序，统计数字 1 在数字 1 到 1,000 中出现的次数。

解题思路

一般来说，解决这种问题的方式是枚举每个数字，然后检查这个数字中 1 的出现次数。但是这种方法的时间复杂度是 $O(n)$，在本题中 $n=1,000$，因此这种方法可能很慢。

我们可以采用一个更聪明的方法。我们可以将数字拆分成几个数字（例如 123 可以拆分成 1、2 和 3），然后分别检查每个数字中 1 的出现次数。接下来，我们以数字 735 为例来说明我们的算法：

• 对于个位，所有的数字都会出现。因此，它会出现 $\lfloor\frac{735}{10}\rfloor=73$ 次。
• 对于十位，如果十位上的数字（3）小于 1，则所有的 1 都是从 1~699 中的数中贡献出来的。因此，它会出现 $7\times10=70$ 次。如果十位上的数字等于 1，则 1 的数量取决于个位数和百位数。在本例中，个位上的数是 5，因此会出现 6 次。最后，我们还需要加上百位数（7）到 1 的距离（即 100 到 199）中的所有数贡献出来的 1，即加上 100~199 中的所有数字中 1 的数量，即 $100\times1+1=101$。因此，十位上的 1 的总数是 $70+6+101=177$。
• 对于百位，如果百位上的数字（7）大于等于 1，则所有的 1 都是从 1~699 中的数中贡献出来的。因此，它会出现 $7\times100=700$ 次。如果百位上的数字等于 1，则 1 的数量取决于十位数和个位数。在本例中，十位数是 3，个位数是 5，因此会出现 36 次。最后，我们还需要加上 1~99 中的所有数字中 1 的数量，即 $1+10=11$。因此，百位上的 1 的总数是 $700+36+11=747$。

使用类似的方法，我们可以计算出 1 到 1,000 中所有数字中 1 的出现次数。

代码实现