门 | GATE CS 2011 | 问题3

本问题涉及离散结构，具体来说是关于图论的问题。我们需要设计一个算法来检测一个图是否为平面图。这是一个 NP-完全问题，因此我们需要尽可能地减少算法复杂度，提高效率。

理解平面图

在开始解决问题之前，我们需要先理解什么是平面图。平面图可以简单地理解为不包含任何边交叉的图形。例如，下图就是一个平面图：

而下图就不是一个平面图：

解决问题

基本思路

根据平面图的定义，我们可以通过尝试绘制图形来判断一个图是否为平面图。具体来说，我们可以使用以下算法来实现：

1. 给定一个图 G，选择任意两条边 e1 和 e2。
2. 如果 e1 和 e2 不相交，则继续选择两条边进行比较；否则，将 e1 和 e2 替换为使得其不相交的 e3 和 e4。
3. 重复步骤2，直到没有两条相交的边为止。
4. 判断最终得到的图是否有任何边交叉，如果没有，则 G 是一个平面图；否则，G 不是一个平面图。

这个算法的时间复杂度为 $O(E^2)$，其中 E 是边的数量。虽然时间复杂度有些高，但是实际上并不需要比较所有的边，因此，它的运行时间还是相当快的。

优化方案

上述算法虽然可以正确地检测图的平面性，但是时间复杂度较高，不能适用于大规模的图。为了提高算法的效率，我们需要采取一些优化方案。

Boyer-Myrvold 算法

Boyer-Myrvold 算法是一种基于分治思想的平面图检测算法，具有时间复杂度为 $O(V+E)$。该算法分为两个阶段：

1. 分解：将一个图 G 分解为若干个小的子图；
2. 合成：将所有子图合成一个大的图。

具体来说，Boyer-Myrvold 算法的主要思想是将图 G 分解为多个小图，并且至少有一个小图是平面图。在执行过程中，会进行递归操作，直到所有的小图都是平面图为止。最终，将会得到一个平面图的子图列表，利用此列表即可得到 G 是否为平面图。

Hopcroft-Tarjan Algorithm

Hopcroft-Tarjan 算法是一种适用于密集图的平面图检测算法，具有时间复杂度为 $O(V^{3/2}+E)$。该算法主要思想是通过挖掘图中的某些特征来检测平面图性质。

具体来说，Hopcroft-Tarjan 算法会利用图的某些特征进行判断：在给定的连通无向图中，如果每个简单环（即没有重复边或自环的环）都至少包含一个长为 $3$ 的路径，则该图是可以平面嵌入的。利用这一特征，Hopcroft-Tarjan 算法可以在较短的时间内判断一个图是否为平面图。

总结

本文介绍了如何设计一个算法来判断一个图是否为平面图，并提供了两种优化方案。具体来说，我们可以通过绘制图形来判断，也可以使用 Boyer-Myrvold 算法和 Hopcroft-Tarjan Algorithm 算法。在实际使用中，我们需要根据不同的场景选择适合的算法，以提高效率。