介绍

本文是针对 "Gate CS 2011 问题 6" 题目的解答，此题目面向计算机科学专业的学生，主要考察对于数据结构和算法的理解和运用能力。

题目描述

一辆火车以 $40 \mathrm{km/hr}$ 的速度向南行驶，另一辆火车以 $60 \mathrm{km/hr}$ 的速度向北行驶。一个数学家站在第一个火车上看两辆火车相遇，然后他下车步行回家。当他回到家中时，他发现两火车散开的距离为 $150$ 公里，则火车行驶时间为多少？

解题思路

本题需要利用以下两个算法进行求解：

• 相遇时间公式：设两对象分别为 $A$ 和 $B$，相遇时间为 $t$，则可得公式 $t = \frac{d_{AB}}{v_A + v_B}$
• 距离（位移）公式：设时间为 $t$，对象速度为 $v$，则可得公式 $d = v \times t$

根据题意可知，两火车相遇时，他们的距离之和等于两火车散开后的距离之差。即：

$$d_{AB} + d_{AB} = 150$$

$$2 \times d_{AB} = 150$$

$$d_{AB} = \frac{150}{2} = 75 \mathrm{km}$$

将题目中给定的速度代入相遇时间公式，可得到两火车相遇时的时间 $t_0$：

$$t_0 = \frac{d_{AB}}{v_A + v_B} = \frac{75}{40 + 60} = \frac{3}{8} \mathrm{hr}$$

由于一号数学家下了火车后需要继续步行，所以需要用距离公式求出他步行至家中的时间，假设他步行的速度为 $v_{walk}$（未知），路程为 $d_{walk}$，时间为 $t_{walk}$：

$$d_{walk} = v_{walk} \times t_{walk}$$

由于一号数学家下了火车后不再有速度约束，所以 $t_{walk} = t - t_0$，其中 $t_0$ 为上文求出的两火车相遇时的时间。所以：

$$d_{walk} = v_{walk} \times (t - t_0)$$

最后根据题目中所给距离，即：

$$d_{walk} = 75 \mathrm{km}$$

可求得数学家步行至家中的时间 $t_{walk}$：

$$t_{walk} = \frac{d_{walk}}{v_{walk}} = \frac{75}{v_{walk}}$$

根据题目要求，两火车相遇时的时间 $t_0$ 加上步行至家中的时间 $t_{walk}$ 便是火车行驶的总时间 $t_{total}$：

$$t_{total} = t_0 + t_{walk} = \frac{3}{8} + \frac{75}{v_{walk}}$$

综上所述，我们可以得到以下代码实现：

# 根据相遇时间公式计算两火车相遇时的时间
d_AB = 75  # km
v_A = 40  # km/hr
v_B = 60  # km/hr
t_0 = d_AB / (v_A + v_B)

# 根据距离公式计算数学家步行至家中的时间
d_walk = 75  # km
t_walk = t_0
v_walk = d_walk / t_walk

# 计算火车行驶的总时间
t_total = t_0 + d_walk / v_walk

其中 v_walk 为数学家步行的速度，可以通过上述方法求出，最后我们可以得到 t_total 的值，即火车行驶的总时间。

答案为：

$$t_{total} = \frac{3}{8} + \frac{75 \mathrm{km}}{v_{walk}}$$

总结

本题是一道简单的数学题，主要考察了对于基本物理公式和数学公式的理解与运用，是对于数据结构和算法的初步测试。