有向无环图中从源到目的地的路径数

在有向无环图（DAG）中从源节点到目的节点的路径数问题是一个经典问题，也是一个非常常见的问题。本文将介绍该问题的解决方法，并提供代码实现。

问题描述

给定一个有向无环图 $G=(V, E)$，其中 $V$ 是节点的集合，$E$ 是边的集合。如果存在一条从源节点 $s$ 到目的节点 $t$ 的路径，则称 $t$ 是从 $s$ 可达的。现在的问题是，如何求解从 $s$ 可达到 $t$ 的所有路径数目。

解决方法

有向无环图中从源到目的地的路径数可以使用动态规划来解决。定义一个数组 $dp$，其中 $dp_i$ 表示从源节点到节点 $i$ 的路径数目。则有以下状态转移方程：

$$ dp_i = \sum_{j \in N_i}\ dp_j $$

其中，$N_i$ 表示节点 $i$ 的入度为出度 $j$ 的节点集合。也就是说，从源节点到节点 $i$ 的路径数目是从源节点到所有入边指向 $i$ 的节点 $j$ 的路径数目之和。

最终结果为 $dp_t$，其中 $t$ 是目的节点。

这种算法的时间复杂度为 $O(|E|+|V|)$，其中 $|E|$ 和 $|V|$ 分别表示边的数目和节点的数目。因此，对于较大的 DAG，这种算法是非常高效的。

代码实现

以下是 Python 代码实现（假设 DAG 的节点编号从 $0$ 开始）：

def count_paths(graph, s, t):
    n = len(graph)
    dp = [0] * n
    dp[s] = 1
    for i in range(n):
        for j in graph[i]:
            dp[j] += dp[i]
    return dp[t]

注意，这里的输入参数 graph 是邻接表表示的 DAG。也就是说，graph[i] 表示节点 $i$ 的出边指向的节点集合。例如，graph[0] = [1, 2] 表示节点 $0$ 有两条出边，指向节点 $1$ 和节点 $2$。

总结

本文介绍了有向无环图中从源到目的地的路径数的解决方法以及代码实现。这是一个非常经典和常见的问题，也是理解动态规划思想和实际应用的重要例子之一。对于需要处理 DAG 的程序员来说，学会了这种算法，一定会事半功倍。