寻找具有最小边乘积且权重大于等于1的路径

在图论中，我们常常需要寻找一条路径，其边的权重乘积最小，且边的权重大于等于1。这种问题在一些场景下非常重要，比如在寻找商品的最优路径或计算最优投资方案时。本文将介绍如何用算法来解决这个问题。

算法实现

1. 贪心算法

我们可以通过贪心算法来解决这个问题，即每次选择当前权重最小的边，并且保证路径上所有边的权重之积大于等于1。这个算法看起来很简单，但是关键在于如何保证路径权重之积大于等于1。我们可以使用一些技巧来实现这一点。

例如，我们可以将路径上的每个边的权重取对数，然后找出一条使得所有对数之和最小的路径，最后再将对数之和取指数即可得到最小边乘积。这个技巧的核心在于对数函数的单调性和指数函数的单调性是相反的。当我们取对数并将其相加时，实际上是在最小化它们的指数之积。因此，我们可以通过最小化路径上所有边的对数之和来实现最小边乘积的目标。

代码实现

import heapq
import math

def min_weighted_path(graph, start, end):
    pq = [(1, start, [])] # 其中元素分别为边权重，起点，路径
    visited = set()
    while pq:
        (w, u, path) = heapq.heappop(pq)
        if u in visited:
            continue
        path = path + [u]
        if u == end:
            return path, math.prod(wt for u, v, wt in path)
        for v, wt in graph[u].items():
            if v not in visited:
                heapq.heappush(pq, (w * wt, v, path))
        visited.add(u)
    return None, None

复杂度分析

贪心算法的时间复杂度为O(E log V)，其中E为边数，V为顶点数。先排序并遍历所有边的时间复杂度为O(E log E)，然后遍历重点的时间复杂度为O(V)。总时间复杂度为O(E log E + V)。

2. 动态规划

我们可以将贪心算法转化为动态规划算法来解决问题。假设dp[i]表示从起点到i的最小权重之积，即min{w(Pi), P为起点到i的路径}。我们可以用一个二维数组f[i][j]表示从起点到i的路径中度数为j的最小边权乘积。因此，转移方程可以表示为f[i][j] = min{f[v][j - 1] * wt(u, i)， u为v的邻居}。最终答案即为min{f[end][i]}，其中i大于等于V的一半，V为顶点数。

不过这个算法的时间复杂度比较高，为O(VV2)。

代码实现

import math

def min_weighted_path(graph, start, end):
    V = len(graph)
    maxdeg = -1
    for i in range(V):
        maxdeg = max(maxdeg, len(graph[i]))
    f = [[0] * (maxdeg + 1) for _ in range(V)]
    dp = [float('inf')] * V
    dp[start] = 1
    f[start][0] = 1

    for j in range(1, maxdeg + 1):
        for i in range(V):
            for u, wt in graph[i].items():
                v = u
                d = 0
                while v != start and d < j - 1:
                    v, _ = graph[v].popitem()
                    d += 1
                if v == start:
                    f[i][j] = wt
                    continue
                wt1 = f[v][j - 1] * wt
                wt2 = 1
                for k in range(1, j):
                    wt2 = min(wt2, f[v][k])
                f[i][j] = min(wt1, wt2)
        dp[i] = min([f[i][j] for j in range(maxdeg + 1) if f[i][j] > 0])

    return None, dp[end]

复杂度分析

这个算法的时间复杂度为O(VV2)，其中V是顶点数。对于每个顶点，需要遍历它的所有邻居。因此，总时间复杂度为O(VV2)。

总结

在本文中，我们介绍了如何使用贪心算法和动态规划算法来解决寻找具有最小边乘积且权重大于等于1的路径问题。贪心算法的时间复杂度为O(E log V)，而动态规划算法的复杂度为O(VV2)。如果数据集不是非常大的话，推荐使用贪心算法来解决问题，因为它的时间复杂度更低。