通过重复添加除 1 以外的除数使 M 和 N 相等的最小移动 | Set-2(动态编程)

介绍

在这篇文章中，我们将学习如何使用动态编程解决通过重复添加除 1 以外的除数使 M 和 N 相等的最小移动问题。

这个问题的具体描述为：

给定两个正整数 M 和 N，每一步你可以将 M 加上除 1 以外的某个因子。你需要通过最小化需要的步数将 M 变成 N。如果你无法将 M 变成 N，则返回 -1。

动态编程解法

我们可以使用动态编程解决这个问题。我们可以定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示将 M 变成 i 需要的最小步数。我们可以使用以下递推式来计算 dp[i]：

dp[i] = min(dp[i], dp[i - factor] + 1), 其中 factor 是 i 的因子

我们要计算的最终结果就是 dp[N]。如果 dp[N] 的值为无穷大，则说明无法将 M 变成 N。

代码

下面是使用 Python 实现的动态编程解决方案：

def min_moves(M, N):
    # 初始化 dp 数组
    dp = [float('inf')] * (N + 1)
    dp[M] = 0

    # 遍历所有 i，计算 dp[i]
    for i in range(M, N+1):
        for j in range(2, int(i**0.5)+1):
            if i % j == 0:
                dp[i] = min(dp[i], dp[i-j] + 1)
                dp[i] = min(dp[i], dp[i-i//j] + 1)
        if dp[i] == float('inf'):
            return -1
    
    # 返回结果
    return dp[N] if dp[N] != float('inf') else -1

这个解决方案的时间复杂度为 O(N^1.5)，空间复杂度为 O(N)。

总结

动态编程可以帮助我们有效地解决很多复杂的问题，包括这个问题。我们需要定义好状态和递推式，并使用适当的数据结构来存储状态。在本例中，我们使用了一个一维数组来存储状态，使用一个二重循环来计算状态。