国际空间研究组织(ISRO) CS 2017 问题 65

问题描述：

给定一组整数，要求计算其中的逆序对数量。即对于任意下标 $i < j$，且 $a[i] > a[j]$，则称 $(i,j)$ 为数组 a 的一个逆序对。例如，对于数组 [2, 4, 1, 5, 3]，包含逆序对的有 (2, 1), (4, 1), (4, 3) 和 (5, 3)，逆序对一共有 4 个。

请你编写一个算法，计算数组中逆序对的数量。

输入格式：

第一行包含一个整数 $n$，表示数组元素个数。

第二行包含 $n$ 个整数，表示数组中的元素。

输出格式：

输出一个整数，表示逆序对的个数。

算法：

本题采用比较典型的归并排序的思想进行求解。具体地，我们从数组中间位置将其划分成左右两个子数组，并计算每个子数组中逆序对的数量。然后分别对左右两个子数组进行归并排序，并统计穿过左右两个子数组的逆序对数量。归并排序的时间复杂度为 $O(nlogn)$，因此总的时间复杂度为 $O(nlogn)$。

代码：

def merge(nums, tmp, l, r):
    if l >= r:
        return 0
    mid = (l + r) // 2
    res = merge(nums, tmp, l, mid) + merge(nums, tmp, mid + 1, r) # 统计逆序对数
    i, j, k = l, mid + 1, l
    while i <= mid and j <= r:
        if nums[i] <= nums[j]:
            tmp[k] = nums[i]
            i += 1
        else:
            tmp[k] = nums[j]
            j += 1
            res += mid - i + 1 # 统计逆序对数
        k += 1
    while i <= mid:
        tmp[k] = nums[i]
        i += 1
        k += 1
    while j <= r:
        tmp[k] = nums[j]
        j += 1
        k += 1
    nums[l:r + 1] = tmp[l:r + 1] # 更新区间值
    return res

n = int(input())
nums = list(map(int, input().split()))
tmp = [0] * n
res = merge(nums, tmp, 0, n - 1)
print(res)

复杂度分析：

时间复杂度：$O(nlogn)$。

代码中的 merge 函数的时间复杂度可以证明是 $O(nlogn)$ 的。这是由于归并排序是一种将数组一分为二的分治算法，每一层递归合并两个长度为 $n/2$ 的数组，所需时间为 $O(n)$；在递归树中，共有 $O(logn)$ 层，因此总的时间复杂度为 $O(nlogn)$。

空间复杂度：$O(n)$。

代码中使用了 O(n) 的额外空间，用来存储排序过程中的临时数组。