门 | GATE CS 2012 | 问题5

本文是对“门 | GATE CS 2012 | 问题5”题目的介绍，该题目出现在计算机科学专业的GATE考试中。以下是问题描述以及解决方案的详细信息。

问题描述

给定一个长度为 N 的数组 A，数组中的元素为正整数，代表从数组的第一个位置起跳的最大步长。 考虑数组 A 中的元素值，以及从数组第一个位置出发（步数为0）到达数组最后一个位置所需的最小步数。 假设我们已经计算了到达每个位置所需的最小步数。现在，我们需要找到从数组的第一个位置到达最后一个位置的最短路径（即步骤数最少的路径）。注意，我们只能从低位到高位跳跃，不能反方向。

例如，考虑数组 A = [1, 3, 5, 8, 9]。对于这个数组，从第一个位置开始，到达最后一个位置的最短路径是： 1 -> 3 -> 8 -> 9 总步数：3

解决方案

要找到从数组的第一个位置到达最后一个位置的最短路径，可以使用动态规划的方法。以下是基于动态规划的解决方案的步骤：

1. 初始化一个长度为 N 的数组 dp，并将所有元素初始化为正无穷大。
2. 设置 dp[0] = 0，表示从第一个位置出发的最小步数为 0。
3. 从数组的第一个位置开始，按照以下方式更新 dp 数组的元素：
   • 对于数组中的每个元素 A[i]，从位置 i+1 开始，向右遍历数组。在遍历过程中，更新 dp 数组的元素 dp[j]，其中 j = i+1, i+2, ..., i+A[i]。
     • 更新 dp[j] 的方法是比较当前的 dp[j] 和 dp[i] + 1，取其中较小的值作为 dp[j] 的新值。
4. 最后，我们可以通过返回 dp 数组的最后一个元素的值来得到从第一个位置到达最后一个位置的最小步数。

下面是以上解决方案的代码示例。

```python
def min_steps_to_last_position(arr):
    N = len(arr)
    dp = [float('inf')] * N
    dp[0] = 0

    for i in range(N):
        for j in range(i + 1, min(i + 1 + arr[i], N)):
            dp[j] = min(dp[j], dp[i] + 1)

    return dp[-1]

这段代码使用了两个嵌套的循环来更新 dp 数组的元素。时间复杂度为 O(N^2)，其中 N 是数组的长度。

希望本文对于理解和解决“门 | GATE CS 2012 | 问题5”有所帮助。通过使用动态规划的方法，我们可以有效地找到从数组的第一个位置到达最后一个位置的最短路径。