题目说明

这是一道有趣的编程问题，名为“门|门CS 2012 |问题2”。这个问题会涉及到图论和动态规划等计算机科学知识。

问题描述

我们需要在一个由 $n$ 个节点和 $m$ 条边组成的无向图中，找到一条最长的简单路径。其中，简单路径是指不包含重复节点的路径，最长的简单路径是指所包含节点数最多的简单路径。

输入格式

• 第 1 行：2 个整数，分别表示 $n$ 和 $m$。
• 第 2 行到第 $m+1$ 行：每行 2 个整数 $u,v$，表示一条连接节点 $u$ 和节点 $v$ 的无向边（$1\leq u,v\leq n$，$u\neq v$）。

输出格式

• 一行，输出一个整数，表示最长的简单路径所包含的节点数。

样例输入

5 5
1 2
2 3
2 4
3 4
4 5

样例输出

4

解题思路

这道问题可以采用动态规划和图论结合的方式解决。我们可以用 $f[i]$ 表示以第 $i$ 个节点为终点的最长简单路径，这里“以第 $i$ 个节点为终点”是指在所有以节点 $i$ 为终点的简单路径中，选择包含节点数最多的路径。

根据这个定义，我们可以列出状态转移方程：

$$f[i]=\max\limits_{j\in\text{adjacent}(i)}{f[j]+1}$$

其中，adjacent$(i)$ 表示与节点 $i$ 相邻的节点集合。

这个方程的含义是：以节点 $i$ 为终点的最长简单路径，一定是以它相邻的某个节点 $j$ 为终点的最长简单路径再加上节点 $i$ 本身。因为如果还有其他的节点 $k$，使得最长简单路径以节点 $k$ 为终点，那么我们就可以使用以 $j$ 为终点的最长简单路径，连接 $i$ 和 $k$，得到一条更长的简单路径。因为简单路径是不包含重复节点的路径，所以这路的性质是正确的。

最后的答案是 $\max_{i=1}^n{f[i]}$，这是因为最长的简单路径不一定以其中一个节点为终点，我们需要遍历每个节点，选择其中的最大值。

代码实现

以下是一个完整的Python实现。其中，$e$ 是一个列表，表示图的连接关系，$f$ 是状态数组，用于存储每个节点的最长简单路径。函数 $dfs$ 用于遍历图，并计算以每个节点为终点的最长简单路径。