门 | GATE-CS-2015（套装1）|第 65 题

这个问题涉及到的是表示门的逻辑电路。门是逻辑电路中的一个基本组件，可以执行一些逻辑操作，如AND，OR，NOT等。在这个问题中，我们需要使用门的知识来解决一个问题。

问题描述

给定一个具有 n 个输入的门电路。每个输入可以有值0或1。如果电路的输出为1，则称其为打开门。否则，它被认为是关闭的门。设计一个有效的算法来确定门是否打开。

例如，考虑下面的电路图：

它有4个输入，且输出为1当且仅当其输入与输出满足以下布尔表达式：

(𝑥 and not 𝑦) or (𝑦 and not 𝑧 and not 𝑤)

解决方案

为了解决这个问题，我们可以使用递归算法。我们从输出端开始，通过向后递归来确定门是否打开。在递归过程中，我们可以应用以下规则：

• 端口不带参数：门打开当且仅当前面的门打开。
• 端口带参数 $i$：将输入 $i$ 置为 1，并求解接下来的端口（递归）；然后将输入 $i$ 置为 0，并同样求解接下来的端口（递归）。如果其中任何一个端口返回 "门打开"，那么该端口也会返回 "门打开"。

由于递归算法会尝试输入所有可能的输入组合，因此该算法可以获得正确的答案，但是需要像写出来的那样深度嵌套。这个算法的时间复杂度是 O(2^n).

下面是该算法的Python实现（包装成函数）：

def is_gate_open(gate, inputs):
    """
    :param gate: 门表示，包含类型（AND/OR/NOT/XOR）及输入端口，
                 e.g. ('AND', [1, 2]) 表示一个AND门，它有两个输入端口1和2
    :param inputs: 输入端口的值（0或1）
    """
    gate_type, ports = gate
    if gate_type == 'AND':
        return all(is_gate_open(inputs[port-1], inputs) for port in ports)
    elif gate_type == 'OR':
        return any(is_gate_open(inputs[port-1], inputs) for port in ports)
    elif gate_type == 'NOT':
        return not is_gate_open(inputs[ports[0]-1], inputs)
    elif gate_type == 'XOR':
        return sum(is_gate_open(inputs[port-1], inputs) for port in ports) % 2 == 1
    elif gate_type == 'IN':
        return inputs[ports[0]-1] == 1
    elif gate_type == 'ID':
        return is_gate_open(inputs[ports[0]-1], inputs)
    else:  # gate_type == 'OUT'
        return is_gate_open(inputs[ports[0]-1], inputs)

总结

门电路是逻辑电路的基本组成部分。使用递归算法可以有效地确定门是否打开。但是，递归算法的缺点是它的复杂度很高，所以仅适用于小规模电路。对于大型电路，需要使用更高效的算法来确定门是否打开。