门| GATE-CS-2015（套装1）|第 62 题

这是一道计算机科学领域的算法问题，涉及到图论和最短路径算法。

题目描述

给定一个有向图 $G=(V, E)$，每个边 $e \in E$ 上都有一个非负整数权重 $w_e$。假设图中不存在负环，即对于所有环 $c$，$\sum_{e \in c} w_e > 0$。给定 $G$ 的源节点 $s \in V$，目标节点 $t \in V$，和整数 $k$，请你计算从 $s$ 到 $t$，最多包含 $k$ 条边的最短路径的长度。

解题思路

这个问题可以转化为一个带有限制的最短路径问题。具体地，我们可以考虑使用动态规划算法来求解。

令 $d_{i,j,p}$ 表示从源节点 $s$ 出发，包含 $p$ 条边，经过点 $i$，并且最终到达点 $j$ 的最短路径的长度。则最终答案为 $\min_{i=0}^k d_{s,t,i}$。

根据最短路径的性质，我们可以有如下的状态转移方程：

$$d_{i,j,p} = \begin{cases} 0 & i=j, p=0 \ w_{i,j} & i \ne j, p=1, (i,j) \in E \ \min_{u: (u,j) \in E} { d_{i,u,p-1} + w_{u,j} } & i \ne j, p>1 \end{cases}$$

其中，第一行表示从 $s$ 到 $s$ 的距离为 $0$；第二行表示走一步可以直接到达相邻节点的距离；第三行表示需要经过上一个节点的状态转移。

最终，我们可以按照 $p$ 从 $0$ 到 $k$ 的顺序依次计算状态，每一次计算用到的状态都是上一次计算中已经确定下来的状态，因此时间复杂度为 $O(k|V|^2)$。

代码实现

下面是使用 Python 语言实现动态规划算法的伪代码：

def shortest_path(s, t, k, V, E, w):
    # 初始化状态矩阵 dp
    dp = [[[0] * (k+1) for _ in range(V)] for _ in range(V)]
    for i in range(V):
        for j in range(V):
            dp[i][j][0] = 0 if i == j else float('inf')
            if (i,j) in E:
                dp[i][j][1] = w[(i,j)]

    # 按照 p 的顺序计算状态
    for p in range(2, k+1):
        for i in range(V):
            for j in range(V):
                dp[i][j][p] = float('inf')
                for u in range(V):
                    if (u,j) in E:
                        dp[i][j][p] = min(dp[i][j][p], dp[i][u][p-1] + w[(u,j)])

    # 返回结果
    return min(dp[s][t])

这段代码实现了动态规划算法的主要思想，但是为了实际运用，可能需要加上一些边界检查和输入参数的处理，具体实现可以按照实际需求来进行。