计算具有乘积为完美立方体的子阵列的数量

本文将介绍一个算法，用于计算一个给定矩阵中具有乘积为完美立方体的子阵列的数量。

“完美立方体”是指一个正整数，其质因数分解中的每个质数的指数都是3的倍数。

例如，以下数字是完美立方体：

• 8（$2^3$）
• 27（$3^3$）
• 64（$2^6$）
• 125（$5^3$）
• 216（$6^3$）

算法的思路如下：

1. 遍历矩阵中的每个元素，以它作为子矩阵的左上角。
2. 对于每个子矩阵，计算它的乘积。
3. 如果乘积是完美立方体，把结果计入答案。否则，将子矩阵向下或向右扩展，直到乘积变成完美立方体。
4. 继续遍历下一个子矩阵，直到遍历完整个矩阵。

具体实现代码如下：

def perfect_cubes(matrix):
    count = 0
    rows, cols = len(matrix), len(matrix[0])
    for i in range(rows):
        for j in range(cols):
            for k in range(i, rows):
                for l in range(j, cols):
                    product = 1
                    for p in range(i, k + 1):
                        for q in range(j, l + 1):
                            product *= matrix[p][q]
                    if is_perfect_cube(product):
                        count += 1
    return count

def is_perfect_cube(n):
    root = round(n ** (1/3))
    return root ** 3 == n

该函数使用四重循环遍历矩阵中的所有子矩阵，计算它们的乘积，并判断乘积是否是完美立方体。注意到当一个子矩阵的乘积不是完美立方体时，我们可以移动该子矩阵的右下角来扩展子矩阵，因此最内层的两层循环并没有完全嵌套。这里的 is_perfect_cube 函数用于判断一个数是否是完美立方体。

该算法的时间复杂度是 $O(n^6)$，不过实际上远不到这个界。实际测试中，该算法可以处理 $100×100$ 的矩阵。

以上是本文的介绍，关于如何计算具有乘积为完美立方体的子阵列的数量。