门 | GATE-CS-2003 |第 48 题

这是GATE-CS-2003的第48题，考查了程序员对于图论数据结构和算法的掌握程度，难度适中。下面详细介绍一下该题目。

题目描述

给定一个带有权边的有向图，一个源顶点$S$和另一个顶点$T$，找到从$S$到$T$的所有路径中的最短路径，并输出该最短路径长度。注意，该图中可能存在负权值边。

解题思路

该题可使用Dijkstra算法或Bellman-Ford算法解决。因为该图中可能存在负权值边，所以使用Dijkstra算法时需要采用堆优化，否则会超时。以下是Bellman-Ford算法的实现流程：

1. 初始化：将源点$S$到其他各点的距离$dis$全部赋为$+\infty$，源点$S$到自身的距离为$0$；
2. 迭代更新：进行$𝑛−1$次迭代更新，每次更新所有$E$条边；
3. 判断负权环：第$n$次迭代若还能松弛出距离，则说明该图存在负权环，应该结束算法。

以下是Bellman-Ford算法的Python实现代码：

from typing import Tuple, List

def BellmanFord(graph: List[Tuple[int, int, int]], n: int, start: int, end: int) -> int:
    # 初始化距离列表
    distance = [float('inf')] * n
    distance[start] = 0
    
    # 迭代更新距离
    for i in range(n-1):
        for u, v, w in graph:
            if distance[u] != float('inf') and distance[u] + w < distance[v]:
                distance[v] = distance[u] + w
    
    # 判断负权环
    for u, v, w in graph:
        if distance[u] != float('inf') and distance[u] + w < distance[v]:
            return -1
    
    return distance[end]

参考资料

1. Dijkstra算法，https://zh.wikipedia.org/wiki/Dijkstra%E7%AE%97%E6%B3%95；
2. Bellman-Ford算法，https://zh.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford%E7%AE%97%E6%B3%95。