问题 13

本题涉及动态规划算法的应用。 假设你有一块土地，可以用来种植不同类型的作物。每种作物有一个成本和收益。一次只能种植一种作物。种植一次需要付出成本，并在收获时获得相应的利润。作物需要一定时间才能成熟，成熟后可以收获。每种作物的成熟时间不同，成本和收益也不同。你需要在有限的时间内获得最大的利润。

本题需要求出可获得的最大利润。以下是输入格式：

n m
c1 c2 ... cn
w1 w2 ... wn
v1 v2 ... vn

其中n表示作物的数量，m表示有限的时间，ci表示第i种作物的成本，wi表示第i种作物的成熟时间，vi表示第i种作物的收益。

你需要返回最大的利润。

示例：

输入:
3 3
1 2 3
1 2 3
15 20 30

输出:
35

解题思路

本题是典型的动态规划问题。首先需要按照作物的成熟时间进行排序，然后使用动态规划求解。具体步骤如下：

1. 将所有作物按照成熟时间从小到大排序
2. 定义状态dp[i]j，表示第i种作物在时间j内可得到最大的利润
3. 状态转移方程如下：
   • 若j < wi，则dp[i][j] = dp[i-1][j]，表示此时不能进行第i种作物的种植
   • 否则，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi]+vi-ci)，表示从当前状态转移而来，可以选择种植或不种植第i种作物
4. 最终结果为dp[n][m]

具体代码如下（使用python语言）：

def max_profit(n, m, cost, time, profit):
    # 按照时间排序
    array = sorted(zip(cost, time, profit), key=lambda x: x[1])

    # 初始化状态
    dp = [[0] * (m+1) for _ in range(n+1)]

    # 动态规划求解
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, m+1):
            if array[i-1][1] > j:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-array[i-1][1]]+array[i-1][2]-array[i-1][0])

    # 返回最大利润
    return dp[n][m]

复杂度分析

本算法的时间复杂度为O(nm)，空间复杂度为O(nm)。其中n表示作物的数量，m表示有限的时间。因此，本算法可以在较短时间内解决大规模数据的动态规划问题。