数组连续元素之间的最小差异之和

在某些情况下，我们需要找出数组中连续元素之间的最小差异之和，这个和可以用来帮助我们找到连续元素之间的平均值或者中位数，或者用于统计某些指标的变化趋势等。

方法一：暴力枚举

最容易想到的方法是暴力枚举，对于每个连续的子数组，计算其元素之间的差异之和，然后比较得到最小值。这个方法的时间复杂度是 $O(n^3)$，不太适用于大规模的数组。

def min_difference_sum(arr):
    n = len(arr)
    min_sum = float('inf')
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n + 1):
            sum_diff = 0
            for k in range(i, j - 1):
                sum_diff += abs(arr[k] - arr[k + 1])
            if sum_diff < min_sum:
                min_sum = sum_diff
    return min_sum

方法二：动态规划

动态规划是解决这个问题比较高效的方法，它的时间复杂度是 $O(n^2)$。我们用 $dp[i][j]$ 表示数组中从 i 到 j 之间连续元素之间的最小差异之和，那么我们可以得到递推式：

$$ dp[i][j] = \min(dp[i][j-1] + |arr[j] - arr[j-1]|, dp[i][j-2] + |arr[j-1] - arr[j-2]|, ..., dp[i][i+1] + |arr[i+1] - arr[i]|) $$

初始状态是 $dp[i][i] = 0$，最终的答案是 $\min_{0 \leq i \leq j < n} dp[i][j]$。

def min_difference_sum(arr):
    n = len(arr)
    dp = [[float('inf')] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        dp[i][i] = 0
    for i in range(n - 1):
        dp[i][i + 1] = abs(arr[i + 1] - arr[i])
    for j in range(2, n):
        for i in range(j - 2, -1, -1):
            for k in range(i, j):
                dp[i][j] = min(dp[i][j], 
                               dp[i][k-1] + abs(arr[k] - arr[k-1]), 
                               dp[k+1][j] + abs(arr[k+1] - arr[k]))
    return dp[0][n-1]

方法三：滑动窗口

在上面的动态规划方法中，我们进行了大量重复计算。可以发现，对于 $dp[i][j]$，它的取值只与 $dp[i][j-1]$，$dp[i+1][j]$，$dp[i+1][j-1]$ 有关，在滑动窗口的过程中我们可以保留这三个值，就不用再枚举了。这个方法可以达到 $O(n^2)$ 的时间复杂度。

def min_difference_sum(arr):
    n = len(arr)
    dp = [float('inf')] * n
    dp[0] = 0
    for i in range(1, n):
        dp[i] = abs(arr[i] - arr[i-1])
    for i in range(2, n):
        temp = dp[i - 2] + abs(arr[i] - arr[i-2])
        if temp < dp[i]:
            dp[i] = temp
        temp = dp[i - 1] + abs(arr[i] - arr[i-1])
        if temp < dp[i]:
            dp[i] = temp
    return dp[n-1]

以上就是三种常见的解法。在实际应用中，应根据数据规模和具体问题的要求来选择合适的解法。