关系代数中的集合论运算

关系代数是数据库领域的一种代数系统，它用于描述和操作关系型数据。集合论运算是关系代数中最常用的运算之一，本文将介绍常用的集合论运算及其在关系代数中的应用。

基本概念

在介绍集合论运算之前，需要先了解以下基本概念：

• 关系：由若干行和列组成的二维表格，每一行代表一个元组，每一列代表一个属性。
• 元组：关系表格中的一行，代表一个实际对象或事件的描述。
• 属性：关系表格中的一列，代表元组的一个特征或属性。
• 笛卡尔积：两个集合 A 和 B 的笛卡尔积是一个集合，由所有形如 (a, b) 的有序对组成，其中 a 属于 A， b 属于 B。

常用集合论运算

交集

关系 R 和关系 S 的交集是只包含同时出现在 R 和 S 中的元组的关系。交集可以用符号 ⋂ 表示。

R ⋂ S

并集

关系 R 和关系 S 的并集是包含 R 和 S 中所有元组的关系。并集可以用符号 ⋃ 表示。

R ⋃ S

差集

关系 R 减去关系 S，得到的是只包含在 R 中但不在 S 中的元组的关系。差集可以用符号 - 表示。

R - S

笛卡尔积

关系 R 和关系 S 的笛卡尔积是由 R 中每个元组和 S 中每个元组构成的所有可能的有序对组成的关系。笛卡尔积可以用符号 × 表示。

R × S

除法

关系 R 除以关系 S，得到的是由 R 中每个元组和 S 中符合匹配条件的元组组合而成的关系。除法可以用符号 ÷ 表示。

R ÷ S

应用实例

例子1：查找两个关系中共同的元素

假设有两个关系 R 和 S，需要找出它们之间共同的元素。可以使用交集运算来实现。

SELECT *
FROM R
INTERSECT
SELECT *
FROM S

该查询将返回 R 和 S 之间共同的元素。

例子2：合并两个关系的元素

假设有两个关系 R 和 S，需要将它们中的元素合并成一个关系。可以使用并集运算来实现。

SELECT *
FROM R
UNION
SELECT *
FROM S

该查询将返回包含 R 和 S 元素的一个新关系。

例子3：从一个关系中过滤掉另一个关系中的元素

假设有两个关系 R 和 S，需要从 R 中删除 S 中出现的元素。可以使用差集运算来实现。

SELECT *
FROM R
EXCEPT
SELECT *
FROM S

该查询将返回 R 中除去 S 中已有元素后的新关系。

例子4：组合两个关系的元素

假设有两个关系 R 和 S，需要使用它们的笛卡尔积生成一个新关系。可以使用笛卡尔积运算来实现。

SELECT *
FROM R
CROSS JOIN
SELECT *
FROM S

该查询将返回 R 和 S 的笛卡尔积作为一个新关系。

例子5：关系除法

假设有两个关系 R(id, name) 和 S(id)，需要在 R 中查找出 S 中每个 id 对应的 name。可以使用除法运算来实现。

SELECT id, name
FROM R
WHERE NOT EXISTS(
    SELECT *
    FROM S
    WHERE NOT EXISTS(
        SELECT *
        FROM R AS R1
        WHERE R1.id = S.id AND R1.name = R.name
    )
)

该查询将返回 S 中每个 id 对应的 R 中的 name。