门| Sudo GATE 2020 Mock III(2019年1月24日)|问题19

这个问题主要涉及到图论和搜索算法。给定一个大小为 $N \times N$ 的网格，其中左上角是起点，右下角是终点。网格中会有若干个门，每个门的开关状态是相同的。门可以随时在开关状态间切换，但门的当前状态对门相邻的单元格是否可达产生影响。

我们需要写一个程序来求出起点到终点的最小路径长度，并且在遇到门时尝试切换其开关状态，以使其能达到目标。如果路径不存在则需要返回无穷大。

算法流程

具体来说，我们可以采用广度优先搜索(BFS)算法来解决这个问题。在搜索时，我们会维护当前可达但未被访问的单元格集合。起点会被加入到这个集合中，然后我们会从这个集合中选出一个单元格进行扩展，即查看它相邻的单元格中哪些是可达的。我们会尝试在拓展相邻单元格时切换门的开关状态，并且每次拓展时会记录当前的路径长度。如果我们碰到了终点，那么我们会终止搜索，否则我们会继续拓展。如果已经没有可达但未被访问的单元格，则搜索失败。

伪代码实现

可以使用以下伪代码实现上述算法逻辑。

def BFS(grid, switchStates):
    # Initialize start node
    q = deque([(0, 0, 0)])
    visited = set()

    # BFS
    while q:
        x, y, steps = q.popleft()
        # Check if we reached the end
        if x == N - 1 and y == N - 1:
            return steps
        # Check if we already visited this cell
        if (x, y) in visited:
            continue
        # Mark cell as visited
        visited.add((x, y))
        # Check if this cell has a switch
        if grid[x][y] == "S":
            # Toggle switch state
            switchStates[(x, y)] = not switchStates[(x, y)]
        # Expand to neighbors
        for dx, dy in [(0, 1), (0, -1), (1, 0), (-1, 0)]:
            nx, ny = x + dx, y + dy
            # Check that new cell is within bounds
            if 0 <= nx < N and 0 <= ny < N:
                # Check if cell is reachable with current switch states
                if isReachable(grid, switchStates, (nx, ny)):
                    # Add new cell to the queue
                    q.append((nx, ny, steps + 1))
    # If we reached here, then we did not find a path
    return float("inf")

时间复杂度分析

对于此算法，时间复杂度的最差情况为 $O(N^4)$，其中 N 为矩阵维度。在最坏的情况下，所有的单元格都距离起点相等，同时每个单元格上都有一个门。在这种情况下，我们将在N×N次迭代中扩展每个单元格，而每次扩展最多需要考虑包含另一个门的所有新单元格。由于这种情况下每个扩展都需要检查 $O(N)$ 个单元格是否可达，因此总时间复杂度为 $O(N^4)$。但是由于大多数情况都不是最坏情况，因此实现的算法通常比这个复杂度更快。

总结

该算法可以求解原问题，即找到起点到终点的最小路径长度，并在遇到门时尝试切换其开关状态，使之可达目标。这个问题可以使用广度优先搜索算法来解决，时间复杂度为 $O(N^4)$。