门| GATE CS 2011 |问题27

本文是关于 GATE CS 2011 门考试的第27个问题的解释和解决方案。该问题涉及到了计算机科学中的图形学和计算几何，需要对这方面的知识有一定的了解。

问题描述

给定一个 3D 坐标系中的点集，求这些点中离距离最远的两个点之间的距离。

解决方案

这道问题可以通过暴力枚举的方式求解，即对于每两个点之间的距离进行计算，取最大值即可。

但是这种方式的时间复杂度为 $O(n^2)$，对于大规模的点集来说并不适用。考虑到计算距离时会用到两点之间的坐标差值，所以可以将点集按照某个坐标轴进行排序，然后通过扫描线的方式计算距离。

以排序后的点集在 $x$ 轴上的投影为例，假设有两个点 $p_i$ 和 $p_j$，它们在 $x$ 轴上的坐标分别为 $x_i$ 和 $x_j$，那么它们之间的距离为 $d(p_i, p_j) = \sqrt{(x_i - x_j)^2 + (y_i - y_j)^2 + (z_i - z_j)^2}$。由于已经将点按照 $x$ 轴坐标进行了排序，所以扫描时只需要关注与当前点水平距离小于已知最大距离的点，即 $|x_i - x_j| \leq D$，其中 $D$ 为已知最大距离。

具体实现时可以使用双指针的方式，维护当前最大距离，不断更新指针位置和最大距离即可。

下面是 Python 代码片段实现上述解决方案：

def dist(p1, p2):
    return ((p1[0]-p2[0])**2 + (p1[1]-p2[1])**2 + (p1[2]-p2[2])**2) ** 0.5

def max_distance(points):
    points.sort() # sort by x-axis
    n = len(points)
    i = j = k = 0 # i and j are pointers for the current distance and k is for current position
    max_dist = 0

    while i < n and j < n:
        while points[j][0] - points[i][0] > max_dist:
            i += 1
        while k < n and points[k][0] - points[i][0] < max_dist:
            j += 1
            if j == n:
                break
            max_dist = max(max_dist, dist(points[j], points[k]))
        k += 1

    return max_dist