题目介绍

门(GATE)-计算机科学与信息技术(CS)-2014-(Set-2)的第32题是一道经典的计算机科学问题。这道题目要求在一个给定的无向图中找到最小生成树。这是一个重要的图论问题，可以用于许多实际应用领域。

题目描述

给定一个无向图$G = (V, E)$，其中$V$是顶点集合，$E$是边集合。每条边$e \in E$都有一个正权重$w(e)$，表示连接该边两端的两个顶点之间的距离。找到$G$的一个最小生成树，这是一个生成树，其中边的权重之和最小。

解决方法

Kruskal算法

Kruskal 算法是解决这个问题的一种常用算法。该算法是一种贪心算法，通过在图中添加边来构建最小生成树。具体步骤如下：

• 将边按权重从小到大排序。
• 初始化一个空的边集合$T$。
• 对于每个边$e \in E$，如果在$T$中添加$e$不会形成环，则将$e$添加到$T$中。
• 返回$T$。

下面是一份Python 代码片段，使用Kruskal算法查找给定无向图的最小生成树：

def kruskal(graph):
    # 将图中的边按权重从小到大排序
    edges = [(graph[u][v], u, v) for u in graph for v in graph[u]]
    edges.sort()
    
    # 初始化空的边集合
    T = set()
    
    # 初始化每个节点的集合
    clusters = {u: {u} for u in graph}
    
    for weight, u, v in edges:
        # 如果加入该条边不会形成环，就将其加入边集合
        if clusters[u] != clusters[v]:
            T.add((u, v, weight))
            # 将 u 和 v 的集合合并
            clusters[u] |= clusters[v]
            for w in clusters[v]:
                clusters[w] = clusters[u]
    
    return T

需要注意的是，这个算法的时间复杂度为$O(E \log E)$，其中$E$是图中的边数。

Prim算法

Prim 算法是另一种解决这个问题的常用算法。该算法从一个起点开始，通过添加边来构建最小生成树。具体步骤如下：

• 在图中任选一个点作为起点。
• 将其与与之相邻的边按权重从小到大排序。
• 初始化一个空的边集合$T$和一个节点集合$S$，将起点加入$S$。
• 对于每个连接一个节点$x \in S$和一个节点$y \notin S$的边，找到其中权重最小的边$e$。
• 将该边添加到$T$中，并将新节点加入$S$。
• 重复步骤4和步骤5，直到$S$包含了图中所有的节点。
• 返回$T$。

下面是一份Python代码片段，使用Prim算法查找给定无向图的最小生成树：

def prim(graph):
    # 任选一个节点作为起点
    start_node = list(graph.keys())[0]
    
    # 初始化空的边集合和节点集合
    T = set()
    S = set([start_node])
    
    while len(S) < len(graph):
        # 从所有连接S中的任一节点和不在S中的任一节点的边中选取权重最小的边
        (u, v) = min([(u, v) for u in S for v in graph[u] if v not in S], key=lambda e: graph[e[0]][e[1]])
        # 将该边加入边集合T
        T.add((u, v, graph[u][v]))
        # 将新的节点加入节点集合S
        S.add(v)

    return T

需要注意的是，这个算法的时间复杂度为$O(E \log V)$，其中$V$是图中的节点数。

总结

这道题目考查了图论问题中的最小生成树。本篇文章介绍了两种常用算法：Kruskal算法和Prim算法。对于Kruskal算法，其时间复杂度为$O(E \log E)$；对于Prim算法，其时间复杂度为$O(E \log V)$。