门| GATE-CS-2003 |问题 23

问题描述

有一个$n$位二进制数，其中每一位都有可能是$0$或$1$。现在，给出$n$个布尔函数$f_1,f_2,...,f_n$，每个函数接收$n$位二进制数，并返回一个布尔值。现在，需要设计一个$n$位门电路，使得第$i$位是$f_i$。我们使用下述定义的“门电路”的概念。

1. 输入门：为二进制数中的一位
2. 输出门：对$n$个布尔函数的输出值进行或运算的结果
3. 中间门：接收两个门电路的输出，运算结果是这两个输出进行与、或或非运算的结果。

门电路的输入是从左到右的二进制数中的每一位。上述门电路定义基于$n$位二进制数的长度，并假设二进制数中的每一位都可以被读取。二进制数中的第$i$位对应电路中的第$i$个输入门和输出门，同时也对应第$i$行的布尔函数$f_i$。

假设计算与、或和非运算所需的时间是常量时间。那么，在此定义下，设计一个含$n$个布尔函数的门电路所需的最小时间复杂度是什么？请给出证明。

解法说明

题目所述的门电路可以用另一种方式，称为电路布尔网络。在电路布尔网络中，每个$n$位二进制数的输入输出只能够连接到一个逻辑和门和一个逻辑非门。因此，我们可以将问题转化为求解最小的逻辑和门和逻辑非门的数量。

首先考虑逻辑和门的数量。假设我们有一组$n$个布尔变量$x_1,x_2,...,x_n$，以及一组布尔函数$f_1,f_2,...,f_n$。我们将变量$f_i$表示为逻辑和项的乘积。也就是说$f_i$的所有逻辑和项的值均为1，则$f_i$的输出为1，否则$f_i$的输出为0。例如，假设$f_i = (x_1+x_2+1)\cdot(x_3'+x_4)$，则$f_i$的所有逻辑和项的值为：

$$(x_1=1,x_2=0,x_3=0,x_4=0), (x_1=0,x_2=1,x_3=0,x_4=0), (x_1=1,x_2=1,x_3=0,x_4=0),$$ $$(x_1=1,x_2=0,x_3=1,x_4=1), (x_1=0,x_2=1,x_3=1,x_4=1), (x_1=1,x_2=1,x_3=1,x_4=1)$$

因此，我们可以使用$n$个逻辑和门来实现电路布尔网络，每一个逻辑和门对应一行布尔函数。每个逻辑和门接收$n$个输入变量，每一个变量可以与逻辑非门中的变量相连（因为逻辑非门只有一个输入变量）。因此，如果我们需要连接更多的逻辑和门，因此连接逻辑或门或逻辑非门，那么最好的情况是只连接逻辑或门，因为这需要的逻辑和门最少。

接下来考虑逻辑非门的数量。因为逻辑非门只有一个输入变量，它需要和逻辑和门一起使用。对于每一个逻辑和门，我们选择其中一个输入变量来用作逻辑非门的输入变量。那么，对于每一个逻辑和门，我们需要一个逻辑非门。因为我们在所有逻辑和门中都使用了一个逻辑非门，所以我们需要$n$个逻辑非门。

因此，设计含$n$个布尔函数的门电路所需的最小时间复杂度为$O(n)$。