GATE-CS-2014-(Set-2) |第 65 题

该题目考察了动态规划的知识点，并需要使用C++语言来实现。

题目描述

有一个数组a[0...n-1]，其中a[i]表示i号位置上的数字。两个人轮流从这个数组的两端选定一个位置拿走数字。每次只能取一端的数字。已知两个人均使用最优策略，问先手能取到的最大数字和是多少？

编程实现

该问题可以通过动态规划来解决。我们可以定义一个二维数组dp[i][j]，表示从位置i到位置j所能取得的最大数字和。则有以下状态转移方程：

dp[i][j] = max(a[i] + min(dp[i+2][j], dp[i+1][j-1]), a[j] + min(dp[i][j-2], dp[i+1][j-1]))

其中，当只剩下一个数字时，dp[i][i] = a[i]。当只剩下两个数字时，dp[i][i+1] = max(a[i], a[i+1])。最终的结果存储在dp[0][n-1]中。

下面是C++语言的实现代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 1005;
int a[N];
int dp[N][N];

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for (int j = 0; j < n; j++) {
        for (int i = j; i >= 0; i--) {
            if (i == j) {
                dp[i][j] = a[i];
            } else if (i+1 == j) {
                dp[i][j] = max(a[i], a[j]);
            } else {
                dp[i][j] = max(a[i] + min(dp[i+2][j], dp[i+1][j-1]), a[j] + min(dp[i][j-2], dp[i+1][j-1]));
            }
        }
    }
    cout << dp[0][n-1] << endl;
    return 0;
}

时间复杂度分析

该算法采用了动态规划的方法来解决问题，时间复杂度为O(n^2)，其中n为数组a的长度。

总结

本题是一道经典的动态规划问题。通过状态转移方程的定义，可以快速求解从i到j所能取得的最大数字和。另外，在实现时注意数组的下标需要从大到小遍历，这样可以保证每个状态都依赖于其后的状态。