门 | GATE-CS-2014-(Set-2) |第 63 题

这道题目考查了学生的逻辑设计以及门电路的基本知识。以下是对题目的介绍:

题目描述

设 $X, Y, Z$ 三个布尔变量，给出下面三个由基本逻辑运算构成的逻辑表达式:

$$ f_1 = (\neg X \wedge Y) \vee (X \wedge Z) \ f_2 = (X \vee \neg Y) \wedge (\neg X \vee \neg Z) \ f_3 = (X \wedge \neg Y \wedge \neg Z) \vee (\neg X \wedge Y \wedge \neg Z) \vee (\neg X \wedge \neg Y \wedge Z) $$

现在考虑将这三个逻辑表达式实现为门电路，给定以下类型的门电路:

1. 与门 (AND gate)
2. 或门 (OR gate)
3. 非门 (NOT gate)

其中与门、或门的输入可以是1或2个，非门的输入只能为1个。现在我们需要计算用最少的门电路实现以上三个逻辑表达式所需的门的数量。

示例

举个例子来说明，比如我们有以下三个式子：

$$ p = AB \ q = A + B \ r = \neg p + \neg q $$

要求用最少的门电路实现这三个逻辑表达式，可以使用下面的图来实现:

graph LR
    A --> AND
    B --> AND
    
    A --> OR
    B --> OR
    
    AND --> p
    OR --> q
    
    p --> NOT
    q --> NOT
    
    NOT --> r

这张图使用了两个与门、一个或门、一个非门，总共使用了 4 个门电路。

思路

为了计算用最少的门电路实现以上三个逻辑表达式所需的门的数量，我们可以使用 Karnough map 来化简布尔函数。化简后的函数可以使用最少的门电路实现，从而计算出使用的门电路的数量。

具体步骤如下：

1. 根据给出的式子，先利用 Karnough map 进行布尔函数的化简。化简出的函数总共有三个，分别是 $f_1, f_2, f_3$。

2. 利用以下门电路实现布尔函数:

   • 与门 (AND gate)
   • 或门 (OR gate)
   • 非门 (NOT gate)

   对于每个布尔函数，需计算使用最少的门电路实现所需的门的数量。

3. 求出每个布尔函数使用的门电路数量之和，得到总门电路数量。

下面是使用 Python 代码实现化简布尔函数、计算门电路数量的部分。此部分代码可用于计算布尔函数的真值表和求出化简后的布尔函数，并可以使用本地的逻辑函数简化真值表。

def karnaugh_map(truthtable):
    # Helper function to find the bits of a binary number
    def bits(n, k):
        res = []
        for i in range(k):
            res.append(n & 1)
            n >>= 1
        return res[::-1]

    minterms = [i for i, val in enumerate(truthtable) if val]
    num_bits = math.ceil(math.log2(len(truthtable)))
    k_map = [[-1 for j in range(2**(num_bits-1))] for i in range(2**(num_bits-1))]
    
    for i in range(2**(num_bits-1)):
        for j in range(2**(num_bits-1)):
            bin_i = bits(i, num_bits - 1)
            bin_j = bits(j, num_bits - 1)
            values = list(range(num_bits))
            for k in range(num_bits-1):
                if bin_i[k] == bin_j[k]:
                    values.remove(k)
            if len(values) == 1:
                k_map[i][j] = bin_i[values[0]] ^ 1 if len(minterms) % 2 == 0 else bin_i[values[0]]
                
    map_str = ""
    for i in range(2**(num_bits-1)):
        for j in range(2**(num_bits-1)):
            map_str += str(k_map[i][j]) + "|"
        map_str += "\n"
    
    return map_str

# Helper function to parse expressions
def parse_expression(expr):
    return eval(expr.replace('NOT', 'not').replace('AND', 'and').replace('OR', 'or'))

# Helper function to calculate number of gates needed for Boolean expression
def gate_count(expr):
    expr = str(parse_expression(expr))
    gates = 0
    
    # Count NOT gates
    gates += expr.count('not')
    
    # Count AND gates
    gates += (expr.count('and') - expr.count('not and'))
    
    # Count OR gates
    gates += (expr.count('or') - expr.count('not or'))
    
    return gates

# Example usage
f1 = "(not X and Y) or (X and Z)"
f2 = "(X or not Y) and (not X or not Z)"
f3 = "(X and not Y and not Z) or (not X and Y and not Z) or (not X and not Y and Z)"

f1_tt = [parse_expression(f1.format(0, 0)), parse_expression(f1.format(0, 1)), parse_expression(f1.format(1, 0)), parse_expression(f1.format(1, 1))]
f2_tt = [parse_expression(f2.format(0, 0)), parse_expression(f2.format(0, 1)), parse_expression(f2.format(1, 0)), parse_expression(f2.format(1, 1))]
f3_tt = [parse_expression(f3.format(0, 0, 0)), parse_expression(f3.format(0, 0, 1)), parse_expression(f3.format(0, 1, 0)), parse_expression(f3.format(0, 1, 1)), parse_expression(f3.format(1, 0, 0)), parse_expression(f3.format(1, 0, 1)), parse_expression(f3.format(1, 1, 0)), parse_expression(f3.format(1, 1, 1))]

f1_simp = logic_simplify(f1_tt)
f2_simp = logic_simplify(f2_tt)
f3_simp = logic_simplify(f3_tt)

total_gates = gate_count(f1_simp) + gate_count(f2_simp) + gate_count(f3_simp)

结论

经过以上步骤的计算，我们可以得到使用最少的门电路实现以上三个逻辑表达式所需的门的数量。

需要注意的是，这里使用的是简单的门电路，实际上门电路可以更复杂，包括一些其他的门，例如异或门、脉冲阻断器 (pulse generator)、时序电路 (sequential circuit) 等。在实际的设计中，需要考虑更多的门电路，以及它们的延迟、功耗等因素。