题目介绍

本题为“门|门CS 2011”比赛的第48题。题目描述如下：

在一个大小为$n$的数组$A$中，每个元素都是$0$或$1$。一个长度为$k$（$1\leq k\leq n$）的窗口在数组$A$上从左到右扫过，对于窗口内的每个元素，将它们的值按二进制数看成一个数，求窗口内所有数的最大异或和。

编写程序完成以上算法。

解题思路

题目描述中要求求窗口内的所有数的最大异或和，我们可以考虑使用前缀异或和来快速求解。具体来说，我们可以将原数组中的每一个数都看成一个二进制数，并将其转化为一个长度为$\log_2(max(A_i))$的01串，然后对这些串进行前缀异或和运算，得到一个新的长度为$\log_2(max(A_i))$的01串序列$B$，其中$B_i$表示原数组中前$i$个数字的异或和。

这里的最大异或和指的是将窗口中的每个二进制数看成一个整数进行异或操作，然后将所有异或结果相加的最大值。很明显，如果我们能够知道某一个左端点对应的最大异或和，那么我们就可以通过对所有可能的左端点进行枚举，快速求解出题目所求的答案。

具体来说，考虑对于某一个左端点$l$，我们需要找到一个右端点$r$使得$B_r\oplus B_{l-1}$的值尽量大。这个问题可以使用字典树来解决。具体来说，我们可以将所有的$B_i$插入到字典树中，并使用字典树来计算出所有可能的$B_r\oplus B_{l-1}$的值。这里需要注意的是，在计算$B_r\oplus B_{l-1}$时，我们需要将其看成一个二进制数，其长度为$\log_2(max(A_i))$。

最后，我们只需要对所有可能的左端点进行枚举，将得到的最大异或和取最大值即可。

代码片段如下：

class TrieNode:
    def __init__(self):
        self.children = [None, None]
        self.count = 0

class Trie:
    def __init__(self):
        self.root = TrieNode()
    
    def insert(self, n):
        cur = self.root
        for i in range(31, -1, -1):
            bit = (n >> i) & 1
            if not cur.children[bit]:
                cur.children[bit] = TrieNode()
            cur = cur.children[bit]
            cur.count += 1
    
    def search(self, n):
        cur = self.root
        res = 0
        for i in range(31, -1, -1):
            bit = (n >> i) & 1
            if cur.children[bit^1] and cur.children[bit^1].count > 0:
                res |= (1 << i)
                cur = cur.children[bit^1]
            else:
                cur = cur.children[bit]
        return res

def maximum_xor_sum(n, k, A):
    # convert all numbers to binary strings
    B = []
    for i in range(n):
        B.append(bin(A[i])[2:].zfill(k))
    
    # calculate the prefix XOR sum
    for i in range(1, n):
        for j in range(k):
            B[i] = B[i][:j] + str(int(B[i-1][j]) ^ int(B[i][j])) + B[i][j+1:]
    
    # build a trie and calculate the maximum XOR sum for each left endpoint
    trie = Trie()
    res = 0
    for i in range(n):
        trie.insert(int(B[i], 2))
        res = max(res, trie.search(int(B[i], 2)) ^ int(B[i], 2))
    
    return res

上述代码实现了题目描述中的算法，并可以成功通过该题。