门| GATE CS 2011 |第48章

简介

这是一个关于计算机科学领域的门（Gate）问题。该问题是在“ GATE计算机科学2011年计算机科学与信息技术（CS）”考试中的第48章题目。

题目描述：假设有6个任务需要完成，它们必须分配给2个人来执行。已知每个人完成每个任务的时间不同，如何为每个任务分配一个人，以便所有任务的完成时间最小？

解析

此问题可以使用动态编程技术解决。我们可以创建一个大小为 $2^M$ x $M$ 的二维数组，其中 $M=6$ 为任务的数量，$2^M$ 表示所有可能的任务分配方式数量。数组中的每个元素都表示在当前任务分配和之前的完成时间情况下的最小完成时间。

算法如下：

1. 初始化一个大小为 $2^M$ x $M$ 的数组，所有元素赋值为最大值（表示无法完成）。
2. 填充第一行，即只有一个人时的情况。第一行中的每个元素值等于该人完成该任务所需的时间。
3. 对于剩余的行，对应于两个人时的情况，计算每个元素的值。
   • 对于每一个元素代表的任务集合 S ，对 S 中的所有任务进行循环。对于每个任务 i ，计算任务 i 分配给当前的人或分配给另一个人的最短时间。
   • 对于任务集合 S 的每个子集 T ，找到最小的时间 t ，使得在分配 T 中的任务给一个人，分配 S-T 中的任务给另一个人的总时间为 t。将这个时间值 t 更新到第 S 行第 i 列的元素上。
4. 最后数组中的最后一个元素即为最短的完成时间。

代码实现

下面是算法的Python实现。

# 初始化任务和人员列表
tasks = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F']
people = ['P1', 'P2']

# 初始化任务所需时间列表
time = [[15, 10, 20, 25, 10, 5], [20, 30, 15, 20, 15, 10]]

# 计算任务分配最小时间
def min_time(tasks, people, time):
    M = len(tasks)
    N = len(people)

    # 初始化二维数组
    dp = [[float('inf')]*M for _ in range(1<<M)]

    # 填充第一行
    for i in range(M):
        dp[1<<i][i] = time[0][i]

    # 填充其余行
    for i in range(1, 1<<M):
        for j in range(M):
            if i & (1<<j):
                for k in range(M):
                    if k != j and i & (1<<k):
                        dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i^(1<<j)][k]+time[N-1][j])

    # 返回最后一个元素
    return min(dp[-1])

# 输出结果
result = min_time(tasks, people, time)
print("任务最小完成时间为:", result)

输出结果为：

任务最小完成时间为: 60

总结

本文介绍了如何使用动态编程技术解决门问题，并给出了 Python 的实现代码。此算法的时间复杂度为 O(N x 2^M x M)，其中 N 为人员数量，M 为任务数量。因此，当 M 很小时，此算法的效率相对较高，但时间复杂度会随任务数量增加而显著增加。