计数数组中的反转|设置 1（使用归并排序）

简介

本文将介绍一种基于归并排序的算法，用于解决计数数组中的反转问题。该算法同时可以用于对一个数组进行“设置1”的操作。

问题描述

给定一个长度为 n 的数组 a，请计算有多少个二元组 (i, j) 满足 1 ≤ i < j ≤ n，且 a[i] > a[j]。

算法设计

首先考虑如何用归并排序统计逆序对的数量。归并排序的过程中，每次将两个有序的子数组合并为一个有序的数组，统计逆序对的数量可以在归并的过程中完成。具体来说，对于两个有序的子数组 a[p...q] 和 a[q+1...r]，可以使用双指针分别指向两个数组的末尾，从后往前遍历 a[p...q] 和 a[q+1...r] 并比较元素的大小，若 a[i] > a[j]，则表示 a[i] 与 a[j+1] 到 a[r] 这些元素都构成逆序对，加上这些逆序对的数量即可。

然后考虑如何利用统计逆序对的算法来完成计数数组中的反转问题。设 a[i] 表示原始数组中值为 i 的元素的个数，构造计数数组 b，其中 b[i] 表示原始数组中小于等于 i 的元素的个数。那么可以得到如下的逆序对计数公式：

count = ∑i=1..n-1(∑j=i+1..n(a[i]*a[j])) = ∑i=1..n-1((b[i]-b[i-1])*⊖_{j=i+1}^{n-1}(b[j]-b[i-1]))

其中 ⊖ 表示异或运算，用于实现计数数组中的前缀和。在计算逆序对数量的同时，可以使用异或运算来将 b 数组中的某些元素设置为 1。

算法实现

基于上述的算法设计，可以实现如下的归并排序算法（使用 Java 语言）：

long mergeSort(int[] a, int p, int r) {
    if (p >= r) {
        return 0;
    }
    int q = (p + r) >>> 1;
    long cnt = mergeSort(a, p, q) + mergeSort(a, q + 1, r);
    int[] tmp = new int[r - p + 1];
    int i = p, j = q + 1, k = 0;
    while (i <= q || j <= r) {
        if (i > q || j <= r && a[j] < a[i]) {
            tmp[k++] = a[j++];
            cnt += q - i + 1;
        } else {
            tmp[k++] = a[i++];
        }
    }
    System.arraycopy(tmp, 0, a, p, k);
    return cnt;
}

接下来，可以根据上述逆序对计数公式，实现如下的计数数组反转算法（同样使用 Java 语言）：

long reverse(int[] a) {
    int n = a.length;
    int[] b = new int[n + 1];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        b[a[i] + 1]++;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        b[i] += b[i - 1];
    }
    long cnt = mergeSort(a, 0, n - 1);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int j = a[i];
        cnt += (long) (b[j + 1] - b[j]) * (n - i - b[j]) * 2;
        b[j]++;
    }
    return cnt;
}

其中 b[i] 表示原始数组中小于等于 i 的元素的个数。首先将原始数组转换为计数数组，然后按照上述逆序对计数公式分别统计计数数组中的逆序对和 1 的数量，并将计数数组中的某些元素设置为 1，最后将逆序对数量和 1 的数量相加即可。

总结

本文介绍了一种基于归并排序的算法，用于解决计数数组中的反转问题和“设置1”的问题。该算法的时间复杂度为 O(n log n)，空间复杂度为 O(n)，效率较高。通过该算法的实现，可以更加深入地理解归并排序算法和计数数组的相关知识，并且为解决类似的问题提供了一个参考。