题目介绍

本题是门(GATE)考试的计算机科学专业2003年的第49题。该题目要求考生实现一个给定的函数，并分析其时间复杂度。本题也是实现基础算法和进行复杂度分析的经典例题之一。

题目描述

以下是题目中给出的函数原型：

int foo(int n) {
    int i, j, k;
    int x = 0;
    for (i = 1; i <= n; i++) {
        for (j = 1; j <= n; j = j * 2) {
            for (k = 1; k <= j; k++) {
                x = x + i + j + k;
            }
        }
    }
    return x;
}

函数的功能是对于输入的值n，计算在三重嵌套的循环下x的值。

解题思路

本题目要求实现foo函数并分析其时间复杂度。我们可以先看一下foo函数中嵌套循环的具体形式：

for (i = 1; i <= n; i++) {        // 外层循环
    for (j = 1; j <= n; j = j * 2) {    // 中层循环
        for (k = 1; k <= j; k++) {      // 内层循环
            x = x + i + j + k;
        }
    }
}

我们可以分别对每一层的循环进行分析：

• 内层循环：i内部的循环次数为1，j内部的循环次数为2，...，j的log2n次方；因此，内部循环总共执行的次数为1+2+4+...+(n/2) = O(n)。

• 中层循环：j每次翻倍（即j=j*2），次数为log2n次方。因此，中层循环执行的次数为log2n。

• 外层循环：i的循环次数为n。

因此，整个函数的时间复杂度为O(nlog2n)。

总结

在本题目中，我们学习了如何通过分析函数中的嵌套循环来分析算法的时间复杂度。通过分别分析每一层循环的次数，我们可以得出整个函数的时间复杂度。在实际编程中，我们也要善于利用算法分析来优化程序，尽可能地减少时间复杂度，提高程序运行效率。