迪尔沃思定理(Dilworth's Theorem)

迪尔沃思定理是离散数学中的一个经典结果，它描述了偏序集的某些性质，是计算机科学和操作研究中一些算法的理论基础。下面将给程序员介绍迪尔沃思定理的含义、应用和证明。

定理定义

偏序集（partial order set）是一个集合S和一个偏序关系≤，满足自反性、反对称性和传递性。具体来说，偏序关系是一种二元关系，对于任意a、b、c∈S，必须满足以下条件：

1. 自反性：a≤a；
2. 反对称性：如果a≤b且b≤a，则a=b；
3. 传递性：如果a≤b且b≤c，则a≤c。

一个偏序集中的元素可以通过偏序关系进行排序。每一个极小链是一种不分拆得到其他链的链，每一个极大反链是一种不分拆得到其他反链的反链。一个反链是一个满足任何两个有限的元素都不可比的集合。如果一个偏序集中不存在任何极大反链，则它可以被完全覆盖，即将所有元素用尽量少的串联的链覆盖。显然，一个反链的最大大小等于一个链的最大长度。因此，完全覆盖率是所有任意长度的反链的大小的最大值。

迪尔沃思定理描述了偏序集中最大反链和最小链的关系，它的原始定义如下：

定理（Dilworth's Theorem）：任意有限偏序集的最小链分拆的大小等于最大反链大小。

应用

迪尔沃思定理是计算机科学领域中的一个重要结果，它可以被用于求解许多问题。以下是几个应用实例：

1. 最佳匹配问题：给定两个集合，计算它们之间的最大匹配。用偏序关系建立一个偏序集，将符合条件的匹配转化为反链。根据迪尔沃思定理，最小链分拆的大小即为最大匹配的大小。这个应用在经典的匈牙利算法中得到了广泛的应用。
2. 整数排序问题：将多个整数排序，可以用这些数之间的大小关系建立一个偏序关系。由迪尔沃思定理，这些整数的排序即为最小链分拆。
3. 词典序最小问题：给定一些单词，求出字典序最小的字符串。首先将单词转化为一个字符列，然后使用排列问题中的技巧，将这个字符列看作一个偏序集。由于反链就是字典序最小的串，因此最小的反链即为答案。

证明

以下是迪尔沃思定理的证明：

证明：设一个偏序集为S={1,2,...,n}，并且假设S的最小链分拆的大小为k，最大反链的大小为p。记L为S的最小链分拆，P为S的最大反链，n∈S。

首先证明p≤k。如果不然，那么我们可以从L中取出k个元素，这些元素组成了一个链。根据偏序关系，链中的每两个相邻的元素都是可比的。因此，这k个元素不可能覆盖所有的P，即S的最大反链中最少有k+1个元素。

接下来我们证明k≤p。为了证明这个命题，我们将S分成p个反链，即S={L1, L2, ..., Lp}，满足每一个反链Li都是S中最大反链中的一个元素。我们记ck为S的最小链分拆的数量，即S能被至多ck个链覆盖。我们将第i个反链的大小记作ni。则有：

n1+n2+...+np = n c1+c2+...+cp ≥ ck

其中最后一个不等式是因为每一个链都必须覆盖至少一个反链。这样就得到了：

np ≥ n/p ck ≥ n/p

因此，有：

k = c1+c2+...+cp ≥ ck ≥ n/p = p

上面的不等式表明k≥p，因此k=p。证毕。

总结

迪尔沃思定理是一个极其优美的数学定理，是离散数学中的一个经典结果。它为许多计算机科学中的问题提供了理论基础，包括最佳匹配问题、整数排序问题和词典序最小问题等。程序员需要了解迪尔沃思定理的含义、应用和证明，以便更好地理解和解决这些问题。