沿粗糙斜面的运动

摩擦力是一种抵抗两个表面之间运动的力。虽然它主要负责抵抗运动，但它也负责运动。没有摩擦，就不可能有运动。当涉及到相对于彼此运动的固体物体时，主要有两种类型的摩擦——动摩擦和静摩擦。这种摩擦力与保持在表面上的身体运动相反。当涉及斜面时，有两个以上的力作用在身体上。研究这些表面上的摩擦和由此产生的运动至关重要。

摩擦

摩擦力反对两个物体之间的运动。当谈到固体物体时，坐在粗糙的表面上。有两种类型的摩擦作用于物体。这些摩擦力取决于表面的类型和正常施加在表面上的力。下图显示了保持在粗糙表面上的块的力和摩擦方向。在这种情况下，作用的摩擦力可以有两种类型：

1. 静摩擦力
2. 动摩擦

Static Friction — This friction before the box starts moving. In this case, the friction is equal to the force applied. As the applied force increases, so does the friction. If the force keeps on increasing, the friction also increases, but there comes a point when the box starts moving. The point just before the box slips is called impeding motion. At this point, the static friction is maximum. It is determined by the coefficient of static friction $\mu_s$

Formula for static friction

$F = \mu_sN$

Kinetic Friction — Kinetic friction starts acting when the box starts moving. Its value is less than the maximum static friction. In this case, no matter what the applied force is, the value of the kinetic friction will remain the same. In this case, it is determined by the coefficient of kinetic friction $\mu_k$

Formula for Kinetic friction:

$F = \mu_kN$

粗糙斜面上的运动

块在粗糙斜面上的运动是两种不同类型力的相互作用。在这样的表面上的地方会同时受到重力和摩擦力的影响。当重力试图将块体拉下时，摩擦力本质上与块体的运动相反。下图显示了一个保持在粗糙斜面上的块。此时，块处于静止状态，因为摩擦力可以平衡作用在块上的力。

让我们看看作用在块上的力。重力向下作用在块上。该力可以分成两个分量，一个分量平行于表面作用，另一个分量垂直于平面表面作用。垂直于平面表面的分量负责摩擦。下图显示了作用在块上的不同力。

上面给出的自由体图可用于找出作用在系统上的力的不同分量的值。在垂直于表面的方向上没有运动，这意味着力必须在这个方向上平衡。

F _y = mgsin( θ ) – N = 0

类似地，沿平面方向的力必须引起块的加速度。假设块的质量为“m”，其加速度为“a”。

$\sum F_x = mgsin(\theta) - F_F = ma$

这里，F _F是摩擦力。这可以是最大静摩擦、静摩擦或动摩擦。在这种情况下，基于倾斜角 ( θ ) 可能有几种可能性。

情况（i）：摩擦小于最大静摩擦，身体尚未开始运动。在这种情况下， $\theta < tan^{-1}(\mu)$ .在这种情况下，摩擦力等于作用在块体上的重力分量。

F _F = mgsin( θ )

情况（ii）：摩擦力等于最大静摩擦力，身体尚未开始运动。这里 $\theta < tan^{-1}(\mu)$ .在这种情况下，力量也是平衡的。因此，

$\mu N = mg sin(\theta) \\ = \mu (mg cos(\theta)) = mg sin(\theta) \\ = \mu = tan(\theta)$

情况（iii）：摩擦力等于动摩擦力。在这种情况下，身体处于运动状态，合力导致身体产生加速度。在这种情况下，

$\sum F_x = mgsin(\theta) - F_F = ma$

在哪里$F_F = \mu_k N \\ F_F = \mu_k(mgcos(\theta))$

$\sum F_x = mgsin(\theta) - \mu_kmgcos(\theta) = ma$

示例问题

问题 1：求一个 5Kg 的块静止在 30° 角的斜面上的摩擦力值。

回答：

Now, since the block is at rest, that means the forces in both the x and y directions must be balanced. 

Net Force in the x-direction, 

$\sum F_x = mgsin(\theta) - F_F = ma \\ = mgsin(\theta) - F_F = 0$

Force of friction is given by, 

F_F  = mgsin(θ)

Given: m = 5Kg, θ = 30°

Plugging the values in the equation, 

F_F  = mgsin(θ)

⇒ F_F  =(5)(10)sin(30°)

⇒ F_F  =25 N

问题 2：求一个 10Kg 的块静止在 45° 角的斜面上的摩擦力值。

回答：

Now, since the block is at rest, that means the forces in both the x and y directions must be balanced. 

Net Force in the x-direction, 

$\sum F_x = mgsin(\theta) - F_F = ma \\ = mgsin(\theta) - F_F = 0$

Force of friction is given by, 

F_F  = mgsin(θ)

Given: m = 10Kg, θ = 45°

Plugging the values in the equation, 

F_F  = mgsin(θ)

⇒ F_F  =(10)(10)sin(45°)

⇒ F_F  =50√2

⇒ F_F = 50(1.414) 

⇒ F_F = 70.7 N

问题 3：假定静摩擦系数为 1.73，求斜面的角度，在该角度上，积木会开始滑动。

回答：

This is the case (ii) mentioned above. The block is just about to slip. In this case, 

$\mu N = mg sin(\theta) \\ = \mu (mg cos(\theta)) = mg sin(\theta) \\ = \mu = tan(\theta)$

Given $\mu = 1.73$

Plugging into the equation above, 

$\mu = tan(\theta) \\ = 1.73 = tan(\theta) \\ = \theta = tan^{-1}(1.73) \\ = \theta = tan^{-1}(\sqrt{3}) \\ = \theta = 60^o$

问题 4：假设静摩擦系数为 1.73，求斜面的角度，在该角度上，积木会开始滑动。

回答：

This is the case (ii) mentioned above. The block is just about to slip. In this case, 

$\mu N = mg sin(\theta) \\ = \mu (mg cos(\theta)) = mg sin(\theta) \\ = \mu = tan(\theta)$

Given $\mu = 1.73$

Plugging into the equation above, 

$\mu = tan(\theta) \\ = 1.73 = tan(\theta) \\ = \theta = tan^{-1}(1.73) \\ = \theta = tan^{-1}(\sqrt{3}) \\ = \theta = 60^o$

问题 5：求块（m = 50Kg）保持在 60° 斜面上的加速度。给定$\mu_k = 0.2$

回答：

tan(60) = √3 = 1.7313

Since tan(θ) > $\mu_k$

This is the case (iiI) mentioned above. The block will slip in this case, 

$\sum F_x = mgsin(\theta) - F_F = ma$

Where $F_F = \mu_k N \\ F_F = \mu_k(mgcos(\theta))$ 

$\sum F_x = mgsin(\theta) - \mu_kmgcos(\theta) = ma$

Given: $\mu_k = 0.2$ , m = 50Kg and θ = 60°. 

$mgsin(\theta) - \mu_kmgcos(\theta) = ma \\ = a = gsin(\theta) - \mu gcos(\theta) \\ = a= g( sin(\theta) - \mu cos(\theta)) \\ = a = (10)(sin(60^0) - \mu cos(60^o) \\ = a = (5)(\sqrt{3} - 0.2) = a = (5)(1.71) = a = 8.55$