门| GATE CS 2021 |设置 1 |第 44 题

本题为2021年的GATE计算机科学考试，设置1的第44题。该题是一道算法题，主要涉及到二分查找算法和贪心算法。下面是该题的具体题目描述：

给定两个长度为n的有序数组A和B，找到它们的中位数。假设n的值始终为奇数。

例如，如果A=[1,3,5]，B=[2,4,6]，则中位数为4。

你的任务是实现一个函数，输入A和B，输出它们的中位数。你的算法的时间复杂度应该为O(logn)。

解题思路

对于要求两个有序数组的中位数，我们可以采用二分查找（binary search）算法。

我们可以对于其中的一个数组（比如A）进行二分查找，寻找到A中的一个元素i，满足i在A中所在的位置和B中的位置的和等于(n+1)/2。

假设这样的元素位置为p，则我们可以通过以下公式计算出这个位置对应的中位数：

• 如果n为奇数，则中位数为min(A[p], B[(n+1)/2-p-1])
• 如果n为偶数，则中位数为( max(A[p], B[(n+1)/2-p-1]) + min(A[p+1], B[(n+1)/2-p]) ) / 2.0

要注意的是，由于我们要求的是p的值，因此需要对A进行二分查找。

由于A和B都是有序数组，因此只需要对一个数组进行二分查找即可。

对于A数组进行二分查找，我们可以将p的值初始化为(n+1)/2，然后不断循环无限缩小p的范围，直到找到满足公式的p。

具体的算法实现如下：

def find_median(A, B):
    n = len(A)
    m = len(B)
    if n > m:
        A, B, n, m = B, A, m, n
    # ensure A is the shorter list
 
    imin, imax, half_len = 0, n, (n + m + 1) // 2
    while imin <= imax:
        i = (imin + imax) // 2
        j = half_len - i
        if i < n and B[j-1] > A[i]:
            imin = i + 1
        elif i > 0 and A[i-1] > B[j]:
            imax = i - 1
        else:
            if i == 0:
                max_of_left = B[j-1]
            elif j == 0:
                max_of_left = A[i-1]
            else:
                max_of_left = max(A[i-1], B[j-1])
            if (n + m) % 2 == 1:
                return float(max_of_left)
 
            if i == n:
                min_of_right = B[j]
            elif j == m:
                min_of_right = A[i]
            else:
                min_of_right = min(A[i], B[j])
 
            return (max_of_left + min_of_right) / 2.0

时间复杂度

该算法的时间复杂度为O(logn)。

空间复杂度

该算法的空间复杂度为O(1)，因为我们只需要用到几个变量来存储中间值。

最终结论

本题是一道比较典型的二分查找算法题目。该算法的时间复杂度为O(logn)，可以找到两个有序数组的中位数。有很好的实际应用价值，在实际工程中有很多用途。