参数形式的函数导数

函数的导数表示函数的变化率。我们知道如何计算标准函数的导数。链式法则、乘积法则和除法法则用于计算由两个或多个函数组合而成的复杂函数的导数。这些函数有两个变量，它们以隐式或显式方式相互关联。有时我们会遇到变量之间没有隐式或显式相关的函数，而是通过第三个变量彼此相关。让我们看看如何详细计算这些函数的导数。

如何找到参数形式的函数的导数？

假设我们有两个变量 x 和 y，通常，这些变量以隐式或显式方式相互关联。但在某些情况下，这些变量通过第三个变量相互关联。这种形式称为方程的参数形式，变量称为参数。

x = f(t) 和 y = g(t) 这里，t 是一个参数。

这些函数的导数由链式法则给出，

$\frac{dy}{dt}$ = $\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$无论在哪里$\frac{dx}{dt} \ne 0$

因此， $\frac{dy}{dx}$ = $\frac{g'(t)}{f'(t)}$ （作为$\frac{dy}{dx} = g'(t)$和$\frac{dx}{dt} = f'(t)$ )

示例问题

问题 1：查找$\frac{dy}{dx}$ , 如果 x = acos( $\theta$ ) , y = asin( $\theta$ ）。

解决方案：

x = acos(θ) and y = asin(θ)

$\frac{dx}{d\theta} = -sin(\theta)$

$\frac{dy}{d\theta} = acos(\theta)$

Now, let’s find out

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

⇒$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}$

⇒$\frac{dy}{dx} = \frac{acos(\theta)}{-asin(\theta)}$

⇒$\frac{dy}{dx} = -cot(\theta)$

问题 2：查找$\frac{dy}{dx}$ , 如果 x = acos ² ( $\theta$ ) , y = asin ² ( $\theta$ ）。

解决方案：

x = acos²($\theta$) , y = asin²($\theta$)

$\frac{dx}{d\theta} = -2acos(\theta)sin(\theta)$

$\frac{dx}{d\theta} = 2acos(\theta)sin(\theta)$

Now, let’s find out

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

⇒$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}$

⇒$\frac{dy}{dx} = \frac{-2acos(\theta)sin(\theta)}{2acos(\theta)sin(\theta)}$

⇒$\frac{dy}{dx} = -1$

问题 3：查找$\frac{dy}{dx}$ ，如果 x = 在² + 2t 时，y = t 在 t = 0。

解决方案：

x = at² + 2t, y = t

$\frac{dx}{dt} = 2at + 2$

$\frac{dy}{dt} = 2$

Now, let’s find out

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

⇒$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{2at + 2}$

⇒$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{ 2}$

⇒$\frac{dy}{dx} = 1$

问题 4：查找$\frac{dy}{dx}$ ，如果 x = 在³ + 2t ² ，y = t ²在 t = 1。

解决方案：

x = at³ + 2t², y = t²

$\frac{dx}{dt} = 3at^2 + 4t$

$\frac{dy}{dt} = 2t$

Now, let’s find out

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

⇒$\frac{dy}{dx} = \frac{2t}{3at^2 + 4}$

⇒$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{3a + 4}$

问题 5：查找$\frac{dy}{dx}$ , 如果 x = 4t, y = $\frac{1}{t}$在 t = 1。

解决方案：

x = 4t, y =$\frac{1}{t}$

$\frac{dx}{dt} = 4$

$\frac{dy}{dt} = -\frac{1}{t^2}$

Now, let’s find out

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

⇒$\frac{dy}{dx} = \frac{-\frac{1}{t^2}}{4}$

⇒$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{4t^2}$

At t = 1

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{4}$

问题 6：查找$\frac{dy}{dx}$ , 如果 x = 4e ^t , y = cos(t)at t = 1。

解决方案：

x = 4e^t, y =cos(t)

$\frac{dx}{dt} = 4e^t$

$\frac{dy}{dt} = -sin(t)$

Now, let’s find out

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

⇒$\frac{dy}{dx} = \frac{-sin(t)}{4e^t}$

At t = 1

⇒$\frac{dy}{dx} = -\frac{sin(1)}{4e}$

问题 7：查找$\frac{dy}{dx}$ ,如果 x = e ^t + sin(t), y = t ² , at = 0。

解决方案：

x = e^t + sin(t), y =t²

$\frac{dx}{dt} = e^t + cos(t)$

$\frac{dy}{dt} = 2t$

Now, let’s find out

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

⇒$\frac{dy}{dx} = \frac{2t}{e^t + cos(t)}$

At t = 0

⇒$\frac{dy}{dx} = 0$

问题 8：查找$\frac{dy}{dx}$ ,如果 x = tsin(t), y = cos(t), 在 t = $\frac{\pi}{2}$ .

解决方案：

x = tsin(t), y = cos(t)

$\frac{dx}{dt} = tcos(t) + sin(t)$

$\frac{dy}{dt} = -sin(t)$

Now, let’s find out

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

⇒$\frac{dy}{dx} = \frac{-sin(t)}{tcos(t) + sin(t)}$

At t =$\frac{\pi}{2}$

⇒$\frac{dy}{dx} = \frac{-sin(\frac{\pi}{2})}{\frac{\pi}{2}cos(\frac{\pi}{2}) + sin(\frac{\pi}{2})}$

⇒$\frac{dy}{dx} = -1$

问题 9：查找$\frac{dy}{dx}$ , 如果 x = 4t ² + 10, y =t ²在 t = 1。

解决方案：

x = 4t² + 10, y =t²

$\frac{dx}{dt} = 8t$

$\frac{dy}{dt} = 2t$

Now, let’s find out

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

⇒$\frac{dy}{dx} = \frac{2t}{8t}$

⇒$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4}$

At t = 1

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4}$

问题 10：查找$\frac{dy}{dx}$ ，如果 x = 在²处，y =2at 在 t = 1 处。

解决方案：

x = at², y =2at

$\frac{dx}{dt} = 2at$

$\frac{dy}{dt} = 2a$

Now, let’s find out

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

⇒$\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{2at}$

⇒$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{t}$

At t = 1

$\frac{dy}{dx} = 1$