下推式自动机简介

下推式自动机是一种对上下文有敏感的有限状态自动机，在编译原理、自然语言处理以及计算机网络等领域都有广泛的应用。本文将介绍下推式自动机的工作原理、构造方法和应用场景。

工作原理

下推式自动机是一种允许在处理输入符号的同时扫描和修改存储在栈上的信息的自动机。在下推式自动机中，每个状态都有一个关联的栈，可以在转移时向栈中压入或弹出符号。与其他类型的自动机不同，下推式自动机的转移不仅依赖于输入符号，还依赖于栈顶符号。

下推式自动机的形式定义为一个五元组$M=(Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, z_0)$，其中：

• $Q$是一组状态的集合；
• $\Sigma$是输入字符集合；
• $\Gamma$是栈符号集合，包括一个特殊符号$Z_0\in\Gamma$，表示栈底；
• $\delta$是转移函数，定义为$\delta:(Q-{q_{acc},q_{rej}})\times(\Sigma\cup{\epsilon})\times\Gamma\rightarrow 2^{Q\times\Gamma^*}$，表示从一个状态经过一个输入符号和一个栈顶符号转移到一个新状态并向栈中压入一个符号串；
• $q_0\in Q$是初始状态；
• $z_0\in \Gamma$是栈的初始符号。

下推式自动机可以接受一个字符串，当且仅当在输入字符串处理完毕后自动机处于一个接受状态$q_{acc}$。

构造方法

下推式自动机的构造方法主要有两种，一种是通过文法直接构造，另一种是通过扩展确定性有限状态自动机构造。

文法直接构造

给定一个上下文无关文法$G=(V_N, V_T, P, S)$，可以直接构造一个下推式自动机$M=(Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, z_0)$，其中：

• $Q$是$G$的所有非终结符构成的状态集合，加上一个接受状态$q_{acc}$；

• $\Sigma=V_T$，即输入字符为$G$的所有终结符号；

• $\Gamma=V_N\cup V_T\cup{Z_0}$，即栈中允许的符号包括$G$的所有非终结符和终结符以及一个特殊符号$Z_0$，表示栈底；

• $\delta$的定义如下：

  $$ \begin{aligned} \delta(q,X,a)&={(q',\gamma)\mid X\rightarrow a\gamma\in P,q'\in Q, \gamma\in\Gamma^*}&\text{ 如果} X\in V_N \ \delta(q,a,a)&={(q',\epsilon)\mid a\rightarrow\epsilon\in P,q'\in Q}&\text{ 如果} a\in V_T \ \delta(q,\epsilon,Z_0)&={(q_{acc},\epsilon)}&\text{ 如果} q=q_0\ \end{aligned} $$

• $q_0$是$G$的起始符号$S$ 对应的状态；

• $z_0=Z_0$。

基于DFA的构造方法

给定一个确定性有限状态自动机（DFA）$A=(Q_A, \Sigma, \delta_A, q_{0A}, F_A)$，可以构造一个下推式自动机$M=(Q_M, \Sigma, \Gamma, \delta_M, q_{0M}, z_{0M})$，其中：

• $Q_M=Q_A\times \Gamma^*$；

• $\Gamma=\Gamma_A\cup{Z_0}$，其中$\Gamma_A$是$A$的输入符号集合，$Z_0$表示栈底；

• $\delta_M$的定义如下：

  $$ \begin{aligned} \delta_M((q,a_1a_2\dots a_n),a,\gamma)&=\left{ \begin{aligned} &((q',a_2a_3\dots a_n),\gamma') && (\text{如果}\delta_A(q,a)=q',\gamma=\epsilon,\gamma'=a)\ &((q',aa_1a_2\dots a_n),\gamma') && (\text{如果}\delta_A(q,a)=q',\gamma\neq\epsilon,\gamma'=a\gamma)\ &((q,a_1a_2\dots a_n),\gamma') && (\text{如果}\delta_A(q,a)=q',\gamma\neq\epsilon,\gamma'=a) \end{aligned}\right. \ \delta_M((q,\gamma),\epsilon,\gamma)&=\left{ \begin{aligned} &(q,\gamma') && (\text{如果}\gamma=z_0,\gamma'=\epsilon\text{且}q=q_{0M},\gamma'=z_0) \ &((q',\gamma a),\gamma') && (\text{如果}\delta_A(q,a)=q',\gamma\neq\epsilon,\gamma'=a\gamma)\ &((q',a),\gamma') && (\text{如果}\delta_A(q,a)=q',\gamma=\epsilon,\gamma'=a) \end{aligned}\right. \ \end{aligned} $$

• $q_{0M}=(q_{0A},Z_0)$；

• $z_{0M}=Z_0$。

应用场景

下推式自动机在编译原理、自然语言处理和计算机网络等领域有广泛的应用。以下是一些具体的应用场景：

• 语法分析：下推式自动机可用于对源代码进行语法分析，以确定代码是否符合语法规则，可以通过上下文无关文法构造下推式自动机来进行语法分析。
• 解析器：下推式自动机可用于解析各种标记字符串，如XML或HTML文档等。可以使用DFA来识别标记，并使用堆栈来跟踪标记中的嵌套结构。
• 表达式求值：下推式自动机可以用作表达式求值器，堆栈中存储表达式中的运算符和操作数，然后根据运算符优先级计算得到表达式的值。
• 协议解析：下推式自动机可以用于协议解析，堆栈中存储已接收字节，然后使用DFA来识别协议字段，并根据字段类型进行相应的处理。

结语

下推式自动机是处理上下文有关的问题的有力工具，具有广泛的应用前景。希望本文能够对读者理解下推式自动机的原理和构造方法有所帮助。