构造长度为k的回文下推自动机

介绍

回文串是指正反读都相同的字符串，如“aba”，“abcba”等。下推自动机（Pushdown Automaton，PDA）可以认为是有限状态自动机（Finite State Automaton，FSA）的扩展，它不仅有状态和转移，还有一个栈。回文串一般需要用到栈这个数据结构，因此可以构造出一个回文下推自动机。

本文将介绍如何构造所有长度为k的回文下推自动机。

算法

1. 状态

回文下推自动机的状态比一般的PDA要多一维，需要记录当前的回文串长度，因此状态用一个二元组表示：

$$(q, k)$$

其中$q$是状态，$k$是回文串的长度。状态总数为$|Q|\times k$

2. 转移

对于每个状态$(q, k)$，有两种转移方式：添加一个字符和弹出栈顶字符。

添加字符的转移可以通过有限状态自动机实现，弹出字符的转移需要操作栈。

设$P={p_0, p_1, ..., p_{n-1}}$为当前回文串的前一半，$T={t_0, t_1, ..., t_{n-1}}$为字符集，每次加入$t_i$后得到回文串$PP'={p_0t_0p_1t_1...p_{i-1}t_{i-1}p_i[p_{i+1}][t_{i+1}]...[t_{n-1}][p_{n-1}]}$，转移到状态$(q', k')$，其中：

若$k_i \ne k$，则状态为$(q', k_i)$，此时不需要进行栈操作。

若$k_i = k$，则状态为$(q'', k-1)$，需要将最后一个字符$P'[n-k]$弹出栈。

转移的过程如图所示：

其中$P_{\leq k}$表示字符串$P$的前$k$个字符，$P_{>k}$表示字符串$P$的从第$k+1$个字符开始的后缀。

3. 初始状态和终止状态

回文下推自动机的初始状态为$(q_0, 0)$，其中$q_0$是一般有限状态自动机的初始状态。

终止状态包括两种状态：

当$k=0$时，当前回文串为空，自动机到达了终止状态$(q_f, 0)$，其中$q_f$是一般有限状态自动机的终止状态。

当$k$为奇数时，自动机到达了终止状态$(q_f, \lfloor \frac{k}{2} \rfloor)$。

代码

class PalindromePDA:
    def __init__(self, fsa, alphabet):
        # 一般有限状态自动机
        self.fsa = fsa
        # 字符集
        self.alphabet = alphabet
        # 初始化窥视符
        self.peek_symbol = ""

    def get_new_state(self, state, new_char):
        '''
        获取添加字符后得到的新状态
        '''
        new_states = self.fsa.get_new_state(state, new_char)
        if new_states is not None:
            # 当前字符可以被接受
            return [(q, state[1]) for q in new_states]
        else:
            # 当前字符不能被接受，使用窥视符
            self.peek_symbol = new_char
            return [(state[0], i) for i in range(1, state[1] + 2)]

    def get_pop_state(self, state):
        '''
        获取弹出字符后得到的新状态
        '''
        return [(state[0], state[1] - 1)]

    def get_all_states(self, k):
        '''
        获取所有状态
        '''
        states = []
        for q in self.fsa.states:
            for i in range(k + 1):
                states.append((q, i))
        return states

    def get_initial_state(self):
        '''
        获取初始状态
        '''
        return (self.fsa.initial_state, 0)

    def get_final_states(self, k):
        '''
        获取终止状态
        '''
        final_states = []
        for (q, f) in self.fsa.final_states:
            final_states.append((q, 0))
            for i in range(1, k + 1, 2):
                final_states.append((q, i // 2))
        return final_states

总结

本文介绍了如何构造所有长度为k的回文下推自动机，其中需要用到一般有限状态自动机和栈这两个数据结构。回文串作为一个经典的问题，其相关算法也是编程面试的常见考点。熟练掌握回文下推自动机的构造方法对于刷题和面试都具有一定的参考价值。