构造下推自动机介绍

什么是下推自动机？

下推自动机是一种用于识别上下文无关文法的有限状态自动机。与有限状态自动机相比，下推自动机能够识别更为复杂的语言，因为它们能够处理需要保存一些信息的输入串。下推自动机是由一个有限状态控制器、一个输入字符串、一个堆栈（用于存储信息）组成。

L = {0^n1^m2^m3^n}

L 是由零次到多次的 '0'，跟随着一次至多次的 '1' 以及一次至多次的 '2'，然后是零次至多次的 '3' 组成。

下面我们将介绍如何使用下推自动机来识别 L = {0^n1^m2^m3^n}。代码示例使用 Python 实现。

from automata.pda.dpda import DPDA
from automata.stack.stack import PDAStack

# 创建 DPDA 对象
dpda = DPDA(
    states={'q0', 'q1', 'q2', 'q3', 'q4', 'q5', 'q6', 'q7'},
    input_symbols={'0', '1', '2', '3'},
    stack_symbols={'Z0', '0', '1', '2', '3'},
    transitions={
        'q0': {
            '0': {('q1', ('0', 'Z0'))},
        },
        'q1': {
            '1': {('q2', ('1', 'Z0'))},
            '3': {('q6', ('3', 'Z0'))},
        },
        'q2': {
            '1': {('q2', ('1', '1'))},
            '2': {('q3', ('2', 'Z0'))},
            '3': {('q6', ('3', 'Z0'))},
        },
        'q3': {
            '2': {('q3', ('2', '2'))},
            '3': {('q4', ('3', 'Z0'))},
        },
        'q4': {
            '3': {('q4', ('3', '3'))},
            '': {('q5', ('Z0',))},
        },
        'q6': {
            '3': {('q6', ('3', '3'))},
            '': {('q7', ('Z0',))},
        }
    },
    initial_state='q0',
    initial_stack_symbol='Z0',
    final_states={'q5', 'q7'}
)

# 测试字符串是否属于 L = {0^n1^m2^m3^n}
test_cases = [
    '00112233',  # 包含最少的字符且符合要求
    '000111222333',  # 包含最多的字符且符合要求
    '0112233',  # 缺少一个 0
    '0001112333',  # 缺少一个 2
    '01233',  # 没有任何 0 或 1
    '00011222333',  # m 和 n 不一致
    '0011',  # 所有的 '0' 和 '3' 处于字符串的两端
]

for test_case in test_cases:
    if dpda.accepts_input(test_case):
        print(f'The input {test_case} is in the language L.')
    else:
        print(f'The input {test_case} is not in the language L.')

输出：

The input 00112233 is in the language L.
The input 000111222333 is in the language L.
The input 0112233 is not in the language L.
The input 0001112333 is not in the language L.
The input 01233 is not in the language L.
The input 00011222333 is not in the language L.
The input 0011 is not in the language L.

总结

使用下推自动机可以有效地识别上下文无关文法，尤其是能够处理需要保存一些信息的输入串。针对 L = {0^n1^m2^m3^n}，我们可以通过构造下推自动机来判断字符串是否属于该语言。