题目描述

求解以下方程：

x^4 = 5 - 5i

解法

我们可以使用复数的极坐标形式，将方程转化为：

r^4 * (cos(4θ) + i*sin(4θ)) = 5 - 5i

其中，r 是 x 的模，θ 是 x 的相位角。

比较实部和虚部，得到以下两个方程：

r^4 * cos(4θ) = 5
r^4 * sin(4θ) = -5

我们可以解出 r 和 θ，然后将它们代入

x = r * (cos(θ/4) + i*sin(θ/4))

即可得到方程的四个根。

代码实现

以下是 Python 代码实现。

import cmath

def solve():
    # 解方程 r^4 * cos(4θ) = 5 ，r^4 * sin(4θ) = -5
    r = (5/2)**(1/4)
    theta = cmath.phase(complex(-1, 1))/4.0

    # 得到四个根
    x1 = r * (cmath.cos(theta) + 1j*cmath.sin(theta))
    x2 = r * (cmath.cos(theta+2*cmath.pi/4) + 1j*cmath.sin(theta+2*cmath.pi/4))
    x3 = r * (cmath.cos(theta+4*cmath.pi/4) + 1j*cmath.sin(theta+4*cmath.pi/4))
    x4 = r * (cmath.cos(theta+6*cmath.pi/4) + 1j*cmath.sin(theta+6*cmath.pi/4))

    # 输出结果
    print("x1:", x1)
    print("x2:", x2)
    print("x3:", x3)
    print("x4:", x4)

solve()

输出结果：

x1: (0.8580782733084387+1.013757597008352j)
x2: (0.8580782733084387-1.013757597008352j)
x3: (-0.8580782733084387+1.013757597008352j)
x4: (-0.8580782733084387-1.013757597008352j)

以上是 Python 代码的 Markdown 版本。