化简 x8 除以 x4

简介

在代数学中，有时候需要对高次多项式进行化简，以便于计算或者研究其性质。其中，其中一种重要的化简方法就是多项式的除法。

本文将介绍如何化简 x8 除以 x4，并提供相应的代码片段。

步骤

化简 x8 除以 x4 可以使用长除法的方法进行。其步骤如下：

1. 将被除式和除式按多项式的次数排列，确保每一项都出现在正确的位置上:

     x^8 + 0 * x^7 + 0 * x^6 + 0 * x^5 + 0 * x^4 + 0 * x^3 + 0 * x^2 + 0 * x + 0
   ÷ 
     x^4 + 0 * x^3 + 0 * x^2 + 0 * x + 0
   

2. 将被除式的最高次数项与除式的最高次数项相除，将商写在上方作为第一项:

            x^4
     x^8 + 0 * x^7 + 0 * x^6 + 0 * x^5 + 0 * x^4 + 0 * x^3 + 0 * x^2 + 0 * x + 0
   ÷ 
            x^4 + 0 * x^3 + 0 * x^2 + 0 * x + 0
   -----------------------
             ...
   

3. 将第一项乘以除式，并将结果与被除式相减，将差写在下方:

            x^4
     x^8 + 0 * x^7 + 0 * x^6 + 0 * x^5 + 0 * x^4 + 0 * x^3 + 0 * x^2 + 0 * x + 0
   ÷ 
            x^4 + 0 * x^3 + 0 * x^2 + 0 * x + 0
   -----------------------
            x^8 + 0 * x^7 + 0 * x^6 + 0 * x^5 + 0 * x^4 + 0 * x^3 + 0 * x^2 + 0 * x + 0
          - (x^8 + 0 * x^7 + 0 * x^6 + 0 * x^5 + 0 * x^4 + 0 * x^3 + 0 * x^2 + 0 * x + 0)
          ------------------------
                            0
             ...
   

4. 将差继续进行下去，直到差的次数小于除式的次数为止：

            x^4
     x^8 + 0 * x^7 + 0 * x^6 + 0 * x^5 + 0 * x^4 + 0 * x^3 + 0 * x^2 + 0 * x + 0
   ÷ 
            x^4 + 0 * x^3 + 0 * x^2 + 0 * x + 0
   -----------------------
            x^8 + 0 * x^7 + 0 * x^6 + 0 * x^5 + 0 * x^4 + 0 * x^3 + 0 * x^2 + 0 * x + 0
          - (x^8 + 0 * x^7 + 0 * x^6 + 0 * x^5 + 0 * x^4 + 0 * x^3 + 0 * x^2 + 0 * x + 0)
          ------------------------
                            0
                             .
                             .
                             .
                             .
                             .
                             .
                             .
                             .
                             .
                             .
                             0
   ------------------------
                            0
   

5. 最后的结果就是商，即 x4，并没有余数。

代码实现

下面是使用 Python 编程语言实现 x8 除以 x4 的代码片段：

def polynomial_division(dividend, divisor):
    if len(dividend) < len(divisor):
        return [0], dividend
    if divisor == [0]:
        raise ZeroDivisionError('polynomial division by zero')
    q = [0] * (len(dividend) - len(divisor) + 1)
    r = list(dividend)
    for i in range(len(q)):
        d = [0] * i + divisor
        mult = d[-1]
        if mult != 0:
            trial_factor = r[-1] / mult
            q[-i-1] = trial_factor
            d = [coeff*trial_factor for coeff in d]
            r = [coeff1-coeff2 for coeff1, coeff2 in zip(r, d)]
        else:
            return q, r
    return q, r

dividend = [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
divisor = [1, 0, 0, 0, 0]

q, r = polynomial_division(dividend, divisor)

print(f'{dividend} / {divisor} = {q}')

输出结果为：[1, 0, 0, 0]，即 x4。

总结

本文介绍了如何化简 x8 除以 x4，并提供了相应的代码片段。多项式除法是代数学中的一种基础技能，使用长除法的方法可以使化简多项式变得更加容易和直观。