门| GATE-CS-2016（套装1）|问题 12

这是GATE（计算机科学）2016年的问题12，它是一道关于图的题目，涉及到最小生成树（MST）算法。本题要求我们实现一个MST算法，然后应用到一个特定的图上去，输出最小生成树的权重。

问题描述

给定一个有向图，每个边有两个属性：一个是权重，一个是方向。在一个有向树中，一条边的方向被定义为从边的源节点指向该边的目标节点。由此得出，如果存在一条连接两个节点u和v的边e，而且e被定义为u到v的方向，则边e被称为由节点u到节点v的出边。

在本问题中，我们将会关注一个有向图，并且会找到它的最小生成树（MST）。我们将会考虑该图的一个子集，即它的一些边可以被强制包含进来，而其他边则不会被选择。

我们被要求写一个程序，在给定的图上实现Prim算法，以找出最小生成树。

思路

Prim算法是解决MST问题的流行算法之一。该算法基于贪心策略通过不断地选择安全边来构建最小生成树。

基本思路是：从任意一个节点开始，将与其相连的所有边加入一个边集E中，将该节点划为已选中。然后找到与E中的所有边相连的、未被选中过的节点中，权重最小的节点，将其加入已选中集合中，并将此节点与E中权重最小的边加入E中。重复上述操作，直到所有节点都被选中为止。

代码实现

class Graph:
    def __init__(self, vertices):
        self.V = vertices
        self.graph = [[0 for column in range(vertices)] for row in range(vertices)]

    def printMST(self, parent):
        print("边\t权重")
        for i in range(1, self.V):
            print(parent[i], "-", i, "\t", self.graph[i][parent[i]])

    def minKey(self, key, mstSet):
        min = float('inf')
        for v in range(self.V):
            if key[v] < min and mstSet[v] == False:
                min = key[v]
                min_index = v
        return min_index

    def primMST(self):
        key = [float('inf')] * self.V
        parent = [None] * self.V
        key[0] = 0
        mstSet = [False] * self.V
        parent[0] = -1
        for cout in range(self.V):
            u = self.minKey(key, mstSet)
            mstSet[u] = True
            for v in range(self.V):
                if self.graph[u][v] > 0 and mstSet[v] == False and key[v] > self.graph[u][v]:
                        key[v] = self.graph[u][v]
                        parent[v] = u
        self.printMST(parent)

算法分析

Prim算法的时间复杂度为O(V^2)。本脚本中，V表示图的顶点数。在该算法中，需要进行V次迭代，每次的时间复杂度均为O(V)，因此总时间复杂度为O(V^2)。

该算法的空间复杂度为O(V)，因为需要使用一个大小为V的数组来表示已选中的节点和待选中的权重。此外，还需要一个大小为V*V的二维数组来表示图。