门| GATE-CS-2016（套装1）|问题 13

这道题目是关于算法和数据结构的，需要应聘者具备一定的编程能力和相关知识。以下是问题的介绍和解答。

问题描述

你需要实现一个算法，用于判断给定的图是否为完全二分图。完全二分图是指一个图可以被分成两个非空的子集，使得其中一个子集中的每一个顶点都与另一个子集中的每一个顶点都不连通。

解答

完全二分图的定义是一个很重要的概念，在算法和数据结构中经常用到。以下是一个可以用于判断一个图是否为完全二分图的 Python 代码片段：

def is_bipartite(adjacency_matrix):
    n = len(adjacency_matrix)
    colors = [None] * n

    def dfs(u, color):
        colors[u] = color
        for v in range(n):
            if adjacency_matrix[u][v]:
                if colors[v] == color:
                    return False
                elif colors[v] is None and not dfs(v, not color):
                    return False
        return True

    for u in range(n):
        if colors[u] is None and not dfs(u, True):
            return False
    return True

该函数的作用是通过深度优先搜索的方法判断一个给定的邻接矩阵所表示的图是否为完全二分图。具体来说，该算法首先对图的每个顶点进行标记，随后使用深度优先搜索来判断每个顶点是否与自己所处的子集中的顶点都不连通，如果有一个顶点已经在当前子集中，并且该顶点与当前顶点同属于一个子集，则该图不是一个二分图。

这个算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，因为需要遍历整个邻接矩阵，并使用 DFS 去判断每一个顶点是否与当前子集的顶点不连通。虽然时间复杂度有些高，但实际上，在大多数情况下，该算法已经足够高效，并且易于实现。如果对算法和数据结构感兴趣的话，建议应聘者可以仔细研究这个算法的实现。