门 | GATE CS 2018 | 第 59 题

这是 Gate CS 2018 中的第 59 题，涉及到矩阵乘法，需要实现一个程序来计算一个门电路的输出。

题目描述

一个门电路包含 n 个输入 A1, A2, ..., An 和一个输出 Y。输入可以是 0 或者 1。门电路可以由 And 门和 Or 门构成。在现实中，门电路可以用一个有向无环图来表示，输出节点在图中一个没有出边的节点。

输入是一个有向无环图，节点编号为 1, 2, ..., n，其中节点 1, 2, ..., n 分别表示输入 A1, A2, ..., An。输入和输出是 0 或者 1。还有一些节点表示 And 门或者 Or 门。给定这个图，请你编写一个程序，计算输出。

输入格式如下： 第一行包含一个整数 n，表示输入节点数和其他门电路节点的总数。 接下来 n 行，其中第 i 行包含一个整数 xi，表示输入 Ai 的值。如果 xi=0，则表示输入节点 i 的值是 0；否则表示值是 1。 接下来 n+1 行到 n+i 行（i<=n-1）中，每行包含两个整数 u 和 v，表示一个 And 门，它的两个输入分别是 u 和 v，且 u<v。输入中保证这些行按照节点编号的升序给出。第 n+1+i 行到最后一行，每行两个整数 u 和 v，表示一个 Or 门，它的两个输入分别是 u 和 v，且 u<v。输入中保证这些行中给出的 And 门和 Or 门都合法（组成一个有向无环图）。

输出格式如下： 一个整数，表示门电路的输出值。

解题思路

这是一道典型的动态规划问题，我们可以用一个二维数组 dp 来存储每个门节点的输出。如果第 i 个节点是 And 门，那么 dp[i][0] 表示两个输入都是 0 或 1 的结果，dp[i][1] 表示至少有一个输入是 1 的结果；如果第 i 个节点是 Or 门，则 dp[i][0] 表示两个输入都是 0 时的结果，dp[i][1] 表示至少有一个输入是 1 的结果。初始状态是输入节点的值。

然后我们可以从后往前遍历有向无环图，对于一个 And 门，其输出可以通过 dp 值相乘得到，即dp[i][j] = dp[u][j] * dp[v][j]。对于一个 Or 门，其输出可以通过 dp 值相加得到，即dp[i][j] = dp[u][j] + dp[v][j] - dp[u][j] * dp[v][j]。最终输出的是输出节点的 dp 值的第二维的值。

参考代码

def get_output(n, inputs, gates):
    dp = [[0, 0] for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        dp[i][inputs[i]] = 1
    for i in range(n+1, len(gates)):
        u, v = gates[i]
        if u < v:
            if dp[u][0] and dp[v][0]:
                dp[i][0] = 1
            if dp[u][1] and dp[v][1]:
                dp[i][1] = 1
        else:
            if dp[u][0] == False and dp[v][0] == False:
                dp[i][0] = 0
            else:
                dp[i][0] = 1
            if dp[u][1] or dp[v][1]:
                dp[i][1] = 1
    return dp[-1][1]

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