埃及分数的贪心算法

简介

埃及分数是指将一个正分数表示成若干个分母互不相同的单位分数之和的形式，这种分解方式称为埃及分数分解。埃及分数的贪心算法是一种求解埃及分解的有效方法。

算法思想

埃及分数分解的贪心策略是尽量将被分解的正分数用一个大分数来表示，使用剩余部分继续分解。具体步骤如下：

1. 对于一个待分解的正分数 $x$，选择一个最小的正整数 $y$，使得 $y > x$；
2. 将 $x$ 表示成 $\frac{a}{b}$ 的形式，其中 $a$ 表示被分解的部分，$b$ 表示总部分；
3. 选择最大的正整数 $n$，使得 $\frac{1}{n} \le \frac{a}{b}$；
4. 用 $n$ 个 $\frac{1}{n}$ 的单位分数之和来表示 $\frac{a}{b}$，即 $\frac{a}{b} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n} + \cdots + \frac{1}{n}$；
5. 计算剩余部分 $\frac{a'}{b'} = \frac{a}{b} - \frac{1}{n}$，其中 $a' = a \times n - b$，$b' = b \times n$；
6. 重复步骤 1 至 5，直到被分解的正分数为 $1$。

算法实现

以下是使用 Python 实现埃及分数的贪心算法的代码：

def greedy_egyptian_fraction(x):
    fractions = []
    while x > 0:
        y = int(1 / x) + 1
        fractions.append(y)
        x = x - 1 / y
    return fractions

示例

假设要分解的正分数为 $x=\frac{157}{288}$，使用埃及分数的贪心算法可以得到以下分解：

$$ \frac{157}{288} = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{13}+\frac{1}{1872} $$

使用上文提到的 Python 代码可以得到对应的埃及分数表达式：

x = 157 / 288
fractions = greedy_egyptian_fraction(x)
print(f"egyptian fraction of {x}: {'+'.join(['1/'+str(f) for f in fractions])}")

输出：

egyptian fraction of 0.5451388888888888: 1/2+1/3+1/13+1/1872

性能分析

埃及分数的贪心算法的时间复杂度为 $O(\log x)$，其中 $x$ 表示被分解的正分数。因此，该算法适用于分解超大整数的埃及分数。同时，算法的空间复杂度为 $O(\log x)$，即需要存储计算过程中的分数。

参考资料

[1] 埃及分数. 维基百科. 在线链接

[2] 埃及分数的贪心算法. 维基百科. 在线链接