在 N×N 棋盘上放置 K 个主教的方法，以便没有两个攻击

问题背景

在 N×N 的棋盘上，放置 K 个主教（bishop），如何摆放可以保证没有两个主教互相攻击？

主教是中国象棋、国际象棋等棋类的一种棋子，走法类似于斜线的“一步”象棋棋子，它们处于同一斜线上则可以互相攻击，因此要求在摆放主教时不能让任意两个的位置处于同一斜线上，即不能互相攻击。

解题思路

1. 从左上角开始，依次遍历所有的棋盘格子。

2. 对于每个格子，判断它是否可以放置主教，如果可以，将主教放置在该位置。

3. 如果无法在该位置放置主教，尝试在其他格子放置主教。

4. 重复以上步骤，直到已放置的主教数量等于 K，或是遍历完所有的格子。

代码实现

def is_safe(board, row, col):
    """
    判断当前位置是否可以放置主教
    """
    # 检查同一行
    for i in range(col):
        if board[row][i] == 1:
            return False
    # 检查左上方斜线
    for i, j in zip(range(row, -1, -1), range(col, -1, -1)):
        if board[i][j] == 1:
            return False
    # 检查右上方斜线
    for i, j in zip(range(row, -1, -1), range(col, len(board), 1)):
        if board[i][j] == 1:
            return False
    return True

def place_bishops_helper(board, col, k):
    """
    放置主教的递归函数
    """
    if k == 0:
        return True
    for i in range(len(board)):
        if is_safe(board, i, col):
            board[i][col] = 1
            if place_bishops_helper(board, col + 1, k - 1):
                return True
            board[i][col] = 0
    return False

def place_bishops(n, k):
    """
    在 N×N 棋盘上摆放 K 个主教
    """
    board = [[0] * n for _ in range(n)]
    if place_bishops_helper(board, 0, k):
        return board
    else:
        return None

使用方法

• place_bishops(n, k)：在 N×N 棋盘上摆放 K 个主教，返回一个 N×N 的棋盘，若无法找到符合条件的解，返回 None。

• is_safe(board, row, col)：判断当前位置是否可以放置主教，board 为当前已经放置的主教所在的棋盘，row 和 col 分别表示待放置的主教在棋盘上的行和列。

总结

以上代码给出了在 N×N 棋盘上摆放 K 个主教的解法，并通过递归实现。该解法利用了递归回溯的思想，从左上角开始依次尝试放置主教，并通过 is_safe() 函数判断该位置是否符合条件，若符合则继续往下递归，否则回溯到之前的状态尝试其他位置。时间复杂度为 O(K^N)，因此该方法在处理大规模的问题时效率并不高，存在一定的局限性。