组合博弈论 | 第四套 (Sprague–Grundy定理)

组合博弈是博弈论的一个分支，研究的是两个人玩游戏时的决策问题。组合博弈中有一个重要的原理——Sprague-Grundy定理，它为计算一类博弈的胜负提供了有效的方法。

定理概述

Sprague-Grundy定理告诉我们，任意一个组合博弈都可以转化为一个 Nim 游戏，其 SG 值就是 Nim 游戏的总和。

SG 值，即 Sprague-Grundy值，是一个博弈状态的非负整数，可以通过递归或动态规划的方式计算得出。SG 值为 0 表示该状态必败，否则必胜。

那么如何将一个组合博弈转化为 Nim 游戏并计算 SG 值呢？我们需要用到一个非常重要的概念——异或和。

异或和

异或和，即对集合中的所有数依次进行异或运算，得到一个结果。例如，{2, 3, 5} 的异或和为 2 ^ 3 ^ 5 = 4。

异或有以下运算法则：

1. 0 ^ x = x
2. x ^ x = 0
3. (x ^ y) ^ z = x ^ (y ^ z)

根据以上运算法则，如果集合 {a1, a2, ..., an} 的异或和为 0，那么这个集合可以分为两个集合 {a1, a2, ..., ak} 和 {ak+1, ak+2, ..., an}，使得这两个集合的异或和分别为 x 和 x，其中 x != 0。

计算SG值

根据 Sprague-Grundy 定理，我们可以设计一个计算 SG 值的算法：

1. 对于一个 NIM 游戏，它的 SG 值等于它的每个子游戏的 SG 值的异或和。
2. 对于一个组合游戏，我们可以将它转化为一个 NIM 游戏。设该游戏在状态 state 下有 m 个子游戏，分别是 G1, G2, ..., Gm。那么该状态的 SG 值等于 G1 的 SG 值到 Gm 的 SG 值的异或和，SG(G1) ^ SG(G2) ^ ... ^ SG(Gm)。

我们可以用递归或动态规划的方式来计算 SG 值。

代码实现

下面是一个示例，用Python实现了一个极为简单的SG值计算函数：

def sg_value(game_state):
    """
    计算 SG 值
    :param game_state: 当前游戏状态
    :return: SG 值
    """
    if game_state <= 0:
        return 0
    # 子游戏
    sub_games = [sub_game_state for sub_game_state in range(1, game_state) if sub_game_state % 3 != 0]
    # 异或和
    xor_sum = reduce(lambda x, y: x ^ y, [sg_value(sub_game_state) for sub_game_state in sub_games])
    return xor_sum

代码中的 reduce 函数，可以对序列中的元素依次进行某个计算，并返回最终的结果。

总结

Sprague-Grundy定理提供了一种有效的方法，用于计算一类博弈的胜负。它的核心思想是将一个组合博弈转化为一个 Nim 游戏，并计算出 SG 值。然后，我们就可以通过 SG 值来判断一个状态是否必胜或必败。