三角形的资质：高度与距离

问题描述

给定一个三角形ABC，已知三角形的三个顶点坐标和三条边长，求：

1. 是否为锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；
2. 计算三角形的高度；
3. 计算三角形的内心、外心、重心和垂心距离。

解法介绍

判断三角形类型

根据勾股定理，可以通过三角形的边长判断其类型：

• 若 $a^2 + b^2 < c^2$，则三角形为钝角三角形；
• 若 $a^2 + b^2 = c^2$，则三角形为直角三角形；
• 若 $a^2 + b^2 > c^2$，则三角形为锐角三角形。

计算三角形高度

三角形的高度从某个顶点到对面边的垂线段长度，可以使用以下公式计算：

$$h = \frac{2S}{a}$$

其中，$S$ 表示三角形的面积，$a$ 表示以这个顶点为底的边长。

计算几何中心距离

三角形的内心、外心、重心和垂心都是几何中心，它们到三角形三个顶点的距离可以使用以下公式计算：

$$d(A, O) = R = \frac{abc}{4S}$$

其中，$A$ 表示三角形的顶点，$O$ 表示几何中心，$a, b, c$ 表示三角形的边长，$S$ 表示三角形的面积。

根据不同的几何中心，公式中的 $O$ 有不同的取值：

• 内心的取值为三角形的内心；
• 外心的取值为三角形的外接圆心；
• 重心的取值为三角形的重心；
• 垂心的取值为三角形的垂心。

参考代码

import math

class Triangle:
    def __init__(self, A, B, C, a, b, c):
        self.A = A
        self.B = B
        self.C = C
        self.a = a
        self.b = b
        self.c = c

    def is_acute(self):
        return self.a ** 2 + self.b ** 2 > self.c ** 2 and \
               self.a ** 2 + self.c ** 2 > self.b ** 2 and \
               self.b ** 2 + self.c ** 2 > self.a ** 2

    def is_right(self):
        return self.a ** 2 + self.b ** 2 == self.c ** 2 or \
               self.a ** 2 + self.c ** 2 == self.b ** 2 or \
               self.b ** 2 + self.c ** 2 == self.a ** 2

    def is_obtuse(self):
        return self.a ** 2 + self.b ** 2 < self.c ** 2 or \
               self.a ** 2 + self.c ** 2 < self.b ** 2 or \
               self.b ** 2 + self.c ** 2 < self.a ** 2

    def height(self, vertex):
        S = self.area()
        a = getattr(self, vertex)
        return 2 * S / a

    def incenter_radius(self):
        S = self.area()
        return S / (self.a + self.b + self.c)

    def circumcenter_radius(self):
        a, b, c = self.a, self.b, self.c
        return a * b * c / (4 * self.area())

    def centroid_radius(self):
        a, b, c = self.a, self.b, self.c
        return math.sqrt(a ** 2 + b ** 2 + c ** 2) / 3

    def orthocenter_radius(self):
        a, b, c = self.a, self.b, self.c
        return a * b * c / (2 * self.area())

    def area(self):
        a, b, c = self.a, self.b, self.c
        s = (a + b + c) / 2
        return math.sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))

# Example
A = (0, 0)
B = (0, 5)
C = (12, 0)
a = 5
b = 13
c = 12

triangle = Triangle(A, B, C, a, b, c)
print('Is acute: ', triangle.is_acute())
print('Is right: ', triangle.is_right())
print('Is obtuse: ', triangle.is_obtuse())
print('Height from A: ', triangle.height('a'))
print('Incenter radius: ', triangle.incenter_radius())
print('Circumcenter radius: ', triangle.circumcenter_radius())
print('Centroid radius: ', triangle.centroid_radius())
print('Orthocenter radius: ', triangle.orthocenter_radius())

上述代码实现了一个 Triangle 类，用于表示一个三角形，并提供了以下方法：

• is_acute(): 判断三角形是否为锐角三角形；
• is_right(): 判断三角形是否为直角三角形；
• is_obtuse(): 判断三角形是否为钝角三角形；
• height(vertex): 计算从顶点到对面边的垂线段长度；
• incenter_radius(): 计算三角形的内心到顶点的距离；
• circumcenter_radius(): 计算三角形的外心到顶点的距离；
• centroid_radius(): 计算三角形的重心到顶点的距离；
• orthocenter_radius(): 计算三角形的垂心到顶点的距离；

使用时，只需创建一个 Triangle 实例，并调用所需的方法即可。