题目描述

给定一个三角形的三边长度，以及一个点到三角形所在平面的距离，要求判断该点是否在三角形内部。

题目分析

根据三角形的三条边长，可以使用海伦公式求出该三角形的面积。然后通过套公式可以求出三角形的高度。

接下来要求出该点到三个顶点所在直线的距离，然后根据该三点到该点的距离可以计算出该点所在的高度，并与之前求出的三角形高度进行比较，如果大于该高度，说明该点在三角形外部，否则在三角形内部。

解题思路

1. 根据三边长度求出该三角形的面积。

   面积公式为 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，其中 $p=\frac{a+b+c}{2}$，即半周长。

2. 根据面积和底边长度求出三角形的高度。

   高度公式为 $h=\frac{2S}{a}$，其中 $a$ 为底边长度。

3. 求出该点到三个顶点所在直线的距离。

   设该点为 $P(x_0, y_0, z_0)$，三个顶点分别为 $A(x_1, y_1, z_1)$，$B(x_2, y_2, z_2)$，$C(x_3, y_3, z_3)$。则点 $P$ 到直线 $AB$ 的距离可以表示为：$d_{AB}=\frac{|(x_2-x_1)(y_1-y_0)-(x_1-x_0)(y_2-y_1)+(y_2-y_1)z_0-(y_1-y_0)z_2|}{\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+z_2^2}}$，点 $P$ 到直线 $AC$ 和 $BC$ 的距离同理。

4. 计算该点所在高度。

   设该点到三个顶点所在直线的距离分别为 $d_1$，$d_2$，$d_3$，则该点所在高度为 $h_P=\frac{2S}{d_1+d_2+d_3}$。

5. 判断该点是否在三角形内部。

   如果 $h_P$ 小于等于之前求出的三角形高度，则该点在三角形内部，否则在三角形外部。

实现代码

def distance(p1, p2):
    """
    计算两点之间的欧几里得距离
    """
    return ((p1[0]-p2[0])**2 + (p1[1]-p2[1])**2 + (p1[2]-p2[2])**2) ** 0.5

def area(a, b, c):
    """
    计算三角形面积
    """
    p = (a + b + c) / 2
    return (p * (p-a) * (p-b) * (p-c)) ** 0.5

def height(area, a):
    """
    计算三角形高度
    """
    return 2 * area / a

def dist_to_line(point, line):
    """
    计算点到直线距离
    """
    p1, p2, p3 = point, line[0], line[1]
    return abs((p2[0]-p1[0])*(p3[1]-p1[1]) - (p2[1]-p1[1])*(p3[0]-p1[0]) + p2[1]*p1[0] - p2[0]*p1[1]) / distance(p2, p3)

def point_in_triangle(triangle, point):
    """
    判断点是否在三角形内部
    """
    a, b, c = triangle
    s = area(a, b, c)
    ha = height(s, a)
    hb = height(s, b)
    hc = height(s, c)

    d1 = dist_to_line(point, (a, b))
    d2 = dist_to_line(point, (a, c))
    d3 = dist_to_line(point, (b, c))
    
    hp = 2*s / (d1+d2+d3)

    return hp <= ha and hp <= hb and hp <= hc

总结

本题需要对三角形的性质有一定的了解，然后通过套公式计算出各种距离和高度，最后判断点是否在三角形内部。需要注意的是，计算距离时需要考虑方向，因此需要用到叉积。此外，还需要注意浮点数运算的精度问题。