介绍

本文是关于2016年GATE计算机科学考试(Set 1)的第58个章节题目的介绍。

题目内容包括一个给定长度的序列，其中每个元素代表一个房间的利润，程序需要计算出在给定的限制条件下，可以在此序列中访问的最大房间利润。

问题描述

给定一个长度为n的序列A[1:n]，表示n个相邻房间的利润。在考虑以下限制条件时，你需要选择一些房间以获取最大的利润。

• 第一个和最后一个房间不能被选择。
• 如果选择了A[i],则不能选择A[i-1]或A[i+1]。

设计一个算法，计算出可以得到的最大利润。你的算法应该在O(n)时间内运行。

算法思路

这是一个经典的动态规划问题。 首先，我们可以观察到一个特性，即对于序列中的任何索引i，都只有两种可能的选择：选择第 i 个房间或不选择。

如果我们选择第 i 个房间，则必须保证我们不选择第 i-1 和第 i+1 个房间。然后，我们需要找到一个方法来处理这种限制条件。

假设我们维护两个数组： inc 和 exc，inc[i]表示选择 A[i] 时，以i结尾的最大子序列和，exc[i]表示不选择 A[i]时（也就是A[i]不属于选择的一部分），以i结尾的最大子序列和。

对于inc[i]，我们有以下两种可能：

• 我们选择A[i]，并且我们不选择 A[i-1]，所以：inc[i] = exc[i-1]+A[i]。
• 我们选择A[i-1]，但我们不选择A[i]（因为A[i]是相邻的），所以：inc[i] = inc[i-1]。

对于exc[i]，我们只需要选择inc[i-1]和exc[i-1]中的较大值，因为它们表示不在i位置选择A[i]的两种可能。

最后，我们只需要找到inc和exc中的最大值，这就是我们需要的结果。

伪代码

def max_profit(n, arr):
  if n<=2:
    return 0
  
  inc = [0]*n
  exc = [0]*n
  
  inc[0] = 0
  exc[0] = 0
  inc[1] = arr[1]
  exc[1] = arr[0]
  
  for i in range(2, n):
    inc[i] = max(exc[i-1]+arr[i], inc[i-1])
    exc[i] = max(inc[i-1], exc[i-1])
    
  return max(inc[n-1], exc[n-1])

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，因为我们只需要遍历序列一次。
• 空间复杂度：O(n)，因为我们需要两个大小为n的数组来存储inc和exc中间结果。