门 | GATE-CS-2016（套装1）|第 58 题

这道题目是一道计算机科学门的经典问题，也在很多编程面试和竞赛中出现。这道题目基于抽象的数学原理，并需要我们设计一个有效的算法来解决问题。

问题描述

有两枚硬币，一个是公平的，即投掷时正面和反面的概率各为0.5。另一个是不公平的，即正面朝上的概率为p，反面朝上的概率为1-p，其中p为0到1之间的实数。现在你可以选择其中一枚硬币，并进行若干次投掷，问如何才能最大限度地获得有关硬币的信息？

解题思路

对于这种概率问题，我们可以使用信息熵的概念来量化信息量。信息熵是一个随机变量不确定性的度量。我们可以使用信息熵来确定我们需要投掷的硬币以及投掷的次数。

对于一个不公平的硬币，它的信息熵为：

$H(p) = -p\log_2p - (1-p)\log_2(1-p)$

其中，$0\leq p \leq 1$。当$p=0.5$时，信息熵达到最大，为1。当$p=0$或$p=1$时，信息熵为0。因此，如果我们选择一个不公平的硬币，我们需要尽可能多地投掷以最大限度地减少不确定性。

我们可以计算出每次投掷所得到的信息熵：

$-\frac{k_p}{k}\log_2\frac{k_p}{k}-\frac{k_q}{k}\log_2\frac{k_q}{k}$

其中，$k$为投掷的总次数，$k_p$和$k_q$分别为正面和反面出现的次数。我们可以使用这个信息熵来判断我们的投掷结果是否有用。

实现

下面是一个Python实现的例子：

import math

def coin_toss(p, k):
    k_p = 0
    k_q = 0
    result = ""
    entropy = 0
    
    for i in range(k):
        rand = random.random()
        if rand < p:
            result += "H"
            k_p += 1
        else:
            result += "T"
            k_q += 1
    
    if k_p == 0 or k_q == 0:
        entropy = 0
    else:
        p_p = float(k_p) / k
        p_q = float(k_q) / k
        entropy = -(p_p*math.log2(p_p) + p_q*math.log2(p_q))
    
    return result, entropy

这个函数返回一个字符串和一个信息熵，字符串表示投掷的结果，其中"H"表示正面，"T"表示反面。信息熵用于评估投掷结果的质量。调用方式如下：

result, entropy = coin_toss(0.6, 10)
print(result)
print(entropy)

这个例子投掷了一个不公平的硬币，正面朝上的概率为0.6，总次数为10。如果投掷结果的信息熵很小，则没有获得很多关于硬币的信息，需要增加投掷次数或者选择另一个硬币再次投掷。