门| GATE-CS-2016（套装1）|问题 15

这是一道GATE计算机科学考试的题目，可以用来提高编程能力和算法思维。

题目描述

给定一个长度为n的整数序列A，其中每个元素都是非负整数，我们定义一个子序列B为A的正交子序列，如果B中任意两个元素a_i和a_j(a_i ≠ a_j)均满足a_i * a_j = 0。也就是说，如果子序列B包含两个非零元素，那么它们的乘积必须为零。找到A的最长正交子序列（长度为k）和第二最长正交子序列（长度为l），并计算k+l的值。

例如，如果A=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]，那么它的一个正交子序列是[0, 1, 2, 4, 8]，长度为5。

算法思路

这是一个比较复杂的算法题目，需要用到不少高级算法的思维。常见的方法是使用一个双指针，分别从左右两边遍历序列，每次找到相邻的两个元素中可以组成正交子序列的一组，即，如果两个元素的乘积为零，那么它们就可以组成正交序列。

具体实现时，我们需要使用一个集合来保存已经找到的正交序列，避免相同的结果被重复计数。同时，我们也需要使用一个变量max_pair来保存找到的最长正交子序列和第二最长正交子序列的长度和。

假设数组A的长度为n，则该算法的时间复杂度为O(n^3)，空间复杂度为O(n^2)。

代码实现

以下是一个Python的实现示例：

def count_pairs(arr):
    # 定义一个集合用于保存正交子序列
    pairs = set()
    n = len(arr)

    # 枚举所有的子序列
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            # 如果两个元素的乘积等于0，说明它们可以组成一个正交子序列
            if arr[i] * arr[j] == 0:
                # 将它们加入到集合中
                pairs.add((i, j))

    # 计算最长正交子序列和第二最长正交子序列的长度和
    max_pair = 0
    for p1 in pairs:
        for p2 in pairs:
            if p1 != p2:
                if len(set(p1+p2)) == 4:
                    max_pair = max(max_pair, len(set(p1+p2)))

    # 返回结果
    return max_pair

该函数接受一个整数数组作为参数，返回一个整数值，表示最长正交子序列和第二最长正交子序列的长度和。

总结

这道题目考察了编程能力和算法思维，需要对常用的解题思路能够熟练掌握。同时，需要注意到时间和空间复杂度的问题，避免出现性能瓶颈。