题目介绍

本题属于计算机科学中的图论问题，要求使用程序解决。本文将介绍该题目的背景，问题描述及其解决方案。

背景

"门|门" 是 CS 1997 级学生自己起的一个名字，它所描述的问题被称为“开关问题”，是图论中的经典问题。

问题描述

现有 $n$ 个门，每个门上都有一个开关，按下某个开关会打开或关闭门，且每个开关控制的门都是唯一确定的。给定每个开关控制哪些门，以及每个门的初始状态（打开或关闭），问是否能使每个门都被打开。

解决方案

首先考虑将问题抽象为图论中经典的图模型。将每个门和它的开关相联系，并且用 0 和 1 表示门的开关状态，用 0 表示关着的，用 1 表示打开的。

然后，我们可以将所有的开关和门视为一个图中的节点，开关所控制的门对应图中的有向边。这个图可能包含多个连通分量，对于每个连通分量，如果存在从某个开关开始的路径可以使得所有的门都被打开，则认为这个连通分量中的所有门都能被打开。因此，问题可以被看作是在这个有向图上检查是否存在某个连通分量包含所有的开关和门，并且存在一条从其中一个开关出发到达所有的门。

解决方法可以通过深度遍历来实现，具体步骤如下：

1. 从某个开关开始遍历图中的所有节点，通过深度遍历记录所有能被遍历到的门。
2. 检查所有记录到的门是否都能被打开，即检查它们的状态是否为 1。如果存在门不能被打开，则说明无法达成要求。
3. 对于所有能被遍历到的节点，将它们的状态设为 1（表示开启）。
4. 检查所有有向边是否被满足，如果存在有向边指向一个状态为 0 的门，则说明存在开关无法将门打开，无法达成要求。
5. 如果步骤 2-4 检查都没有问题，则将所有状态 1 的节点标记为已遍历，跳过它们，然后继续重复步骤 1-4，直到所有节点被标记为已遍历或者发现有无法达成要求的门。

该算法在时间和空间复杂度上的上界均为 $O(n)$，因此能够在满足大多数实际情况下的时间限制要求。